广东佛山顺德区高二数学下学期期末考试理

广东省佛山市顺德区2018-2019学年高二数学下学期期末考试理试题（含解析）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4. 考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简复数，再计算共轭复数.【详解】故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算和共轭复数，属于简单题.2.曲线在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.【详解】将代入导函数方程，得到 将代入曲线方程，得到切点为：切线方程为：故答案选C【点睛】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.3.已知离散型随机变量的分布列如下，则（ ）024A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析】先计算，再根据公式计算得到【详解】故答案选B【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.4.若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过类比的方法得到直线方程是，代入数据得到答案.【详解】所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得双曲线的所平分的弦所在的直线方程是代入数据，得到：故答案选A【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.5.抛物线和直线所围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积.【详解】所围成的封闭图形的面积是： 故答案为C【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.6.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】 ，排除B，排除D排除C故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，取特殊值可以简化运算.7.已知，用数学归纳法证明时，从假设推证成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】分别计算和时项数，相减得到答案.【详解】时，共有项.时，共有项.需在左边的表达式上多加的项数为： 故答案选B【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.8.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（ ）A. B. 0. 96C. 63. 04D. 【答案】B【解析】【分析】将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【详解】已知与线性回归方程为当时： 相应的残差为：故答案选B【点睛】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.9.若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，计算函数的单调区间，根据区间上是单调函数得到答案.【详解】单调递增，单调递减.函数在区间上是单调函数区间上是单调递减不满足只能区间上是单调递增.故故答案选B【点睛】本题考查了函数的单调性，排除单调递减的情况是解题的关键.10.把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ）A. 36B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】将情况分为113和122两种情况，相加得到答案.【详解】当分的票数为这种情况时： 当分的票数为这种情况时：一张票数的人可以选择： 不同分法的种数为36故答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.11.已知，则（ ）A. 36B. 40C. 45D. 52【答案】A【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，分别计算和，相加得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.12.已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数 ，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案.【详解】对任意的，都有成立构造函数在上递增.是偶函数为奇函数，在上单调递增. 当时：当时：故答案选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数是解题的关键.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_.【答案】2【解析】【分析】化简复数，实部为0，计算得到答案.【详解】为纯虚数 故答案为2【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14.已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】求导，代入数据得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.15.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意先计算，再用展开式的通项公式计算常数项.【详解】若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等. 当时为常数项，为故答案为：【点睛】本题考查了二项式的计算，先判断是解题的关键.16.已知平面上1个三角形最多把平面分成2个部分，2个三角形最多把平面分成8个部分，3个三角形最多把平面分成20个部分，4个三角形最多把平面分成38个部分，5个三角形最多把平面分成62个部分，以此类推，平面上个三角形最多把平面分成 _个部分.【答案】【解析】【分析】设面上个三角形最多把平面分成个部分，归纳出，利用累加法的到答案.【详解】设面上个三角形最多把平面分成个部分. 归纳： 利用累加法： 故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理，累加法，综合性强，意在考查学生归纳推理和解决问题的能力.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. （是虚数单位）（）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据三个式子的结构特征及（）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.【答案】（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解析】【分析】（）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【详解】（I） （II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：（且不同时为零） 下面进行证明：要证明只需证 只需证 因为上式成立，所以成立. （或直接利用复数的乘除运算得出结果）【点睛】本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.18.某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生. 由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队. （）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（）设表示代表队中男生的人数，求的分布列和期望.【答案】（I）（II）见解析【解析】【分析】（）用1减去没有1班同学入选的概率得到答案.（）的所有可能取值为1，2，3，4，分别计算对应概率得到分布列，再计算期望.【详解】（I）设1班至少有1名学生入选代表队为事件则 （II）的所有可能取值为1，2，3，4 ，. 因此的分布列为1234.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.随着人们生活水平的日益提高，人们对孩子的培养也愈发重视，各种兴趣班如雨后春笋般出现在我们日常生活中. 据调查，36岁的幼儿大部分参加的是艺术类，其中舞蹈和绘画比例最大，就参加兴趣班的男女比例而言，女生参加兴趣班的比例远远超过男生. 随机调查了某区100名36岁幼儿在一年内参加舞蹈或绘画兴趣班的情况，得到如下表格：不参加舞蹈且不参加绘画兴趣班参加舞蹈不参加绘画兴趣班参加绘画不参加舞蹈兴趣班参加舞蹈且参加绘画兴趣班人数14352625（）估计该区36岁幼儿参加舞蹈兴趣班的概率；（）通过所调查的100名36岁幼儿参加兴趣班的情况，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99. 9%的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关. 参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生10女生70总计附：. 0. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 0012. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828【答案】（I）（II）有的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关，详见解析【解析】【分析】（）画出韦恩图，计算参加舞蹈班的人数，再计算概率.（）补全列联表，计算，与临界值表作比较得到答案.【详解】（I）画出韦恩图得：（II）参加舞蹈兴趣班不参加舞蹈兴趣班总计男生102030女生502070总计6040100所以，有的把握认为参加舞蹈兴趣班与性别有关.【点睛】本题考查了概率的计算，列联表，意在考查学生的计算能力.20.已知函数，当时，函数有极大值8 （）求函数的解析式；（）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）（II）【解析】【分析】（）求导，当时，导函数为0，原函数为8，联立方程解得（）参数分离，设，求在区间上的最大值得到答案.【详解】（I） 当时，函数有极大值8，解得 所以函数的解析式为. （II）不等式在区间上恒成立在区间上恒成立 令，则由 解得，解得所以当时，单调递增，当时，单调递减 所以对，都有，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题考查了极值的性质，参数分离，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.21.某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70. 经计算得，,生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%. （）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；（）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？附：若，则，【答案】（I）（II）有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求，详见解析【解析】【分析】（）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为，则，计算得到答案.（）记这种产品的质量指标为，由题意知,得到答案.【详解】（I）10件样品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为， 则， （II）记这种产品的质量指标为，由题意知 则 有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.【点睛】本题考查了二项分布，正态分布，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数. （I）讨论的单调性；（II）若，求证：当时，.【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析【解析】【分析】（I）求导，根据三种情况讨论单调性（II）将需要证明的不等式转化为：分别计算不等式左边的最大值和右边的最小值，比较得证.【详解】（I）的定义域为 当时，在上单调递增； 当时，解得，解得，在上单调递增，上单调递减； 当时，解得，解得在上单调递增，上单调递减； 综上，当时，在上