广东广州普通高中高三数学综合测试二理

广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化代数形式，再根据对应的点在第三象限列不等式，解得结果.【详解】,选B.【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.己知集合A=，则A. x|x2或x6B. x|x2或x6C. x|x0，n0)上，则的最小值为A. 4B. 3+2C. 6+4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求A点坐标，再根据基本不等式求最值.【详解】设，则或，即或因为在上，所以，即，从而，当且仅当时取等号，即的最小值为，选C.【点睛】本题考查导数几何意义以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.10.函数 的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若e1，e2是夹角为60的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= _【答案】【解析】【分析】根据向量数量积求模.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查利用向量数量积求模，考查基本分析求解能力，属基本题.14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是_.【答案】2【解析】解：因为展开式的的系数为80，则说明，故a=2.15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，是的内角，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共60分17.己知an是递增的等比数列，a2+a3 =4，ala4=3 (1)求数列an的通项公式； (2)令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）列方程组解得公比与首项即可，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列公比为，因为，所以 解得 或 因为是递增的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为 解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，是方程的两个根解得或因为是递增的等比数列，所以，则所以数列的通项公式为（2）由（1）知 则， 在式两边同时乘以得， -得，即， 所以【点睛】本题考查等比数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图 (1)根据上表中的样本数据及其散点图： (i)求; (ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度 (2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。附：参考数据： 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）(i)（）可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； （2）根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%.【解析】【分析】（1）(i)根据平均数公式求解（）先根据公式求，再作判断，（2）根据求，将代入线性回归方程得估计值.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（）（） 因为，所以 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 （2）因为回归方程为，即所以【或利用 】所以关于的线性回归方程为将代入线性回归方程得 所以根据回归方程预测年龄为岁时人的脂肪含量为%【点睛】本题考查平均值以及线性回归方程，考查基本分析求解能力，属基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）证明：取中点，连结，因为底面为菱形，所以 因为为的中点，所以 在中， 为的中点，所以设,则，因为，所以 在中，为的中点，所以在 和 中，因为，所以 所以所以 因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面 （2）因为，平面，平面，所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， 所以，设平面的法向量为，则 令，则，所以 设平面的法向量为，则 令，则，所以设二面角为，由于为锐角，所以 所以二面角的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1） ； （2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】（1）设动点的坐标为，因为 ， ， 所以，整理得 所以动点的轨迹的方程 （2）过点的直线为轴时，显然不合题意 所以可设过点的直线方程为， 设直线与轨迹的交点坐标为 ，由得 因为，由韦达定理得 =， = 注意到 =所以的中点坐标为 因为 点到直线的距离为 因为 ，即 ，所以直线与以线段为直径的圆相离【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.已知函数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点xl，x2，求k的取值范围，并证明【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点及其符号确定单调性，（2）先根据函数图象确定有两个零点的条件，即得k的取值范围；令，构造函数，将不等式证明问题转化为证明函数最值问题，再利用导数求函数最值即可.【详解】（1）解：因为，函数的定义域为，所以当时，所以函数在上单调递增 当时，由，得（负根舍去），当时，当时，所以函数在上单调递减；在上单调递增 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）先求的取值范围：由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得 因为，且，下面证明设，则因为，所以所以在上单调递增，所以 所以的取值范围是 再证明：因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则所以即所以，即，要证，即证 即证，即证因为，所以即证，或证 设，即，所以所以在上单调递减， 所以 所以【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及证不等式，考查综合分析论证与分类讨论能力，属难题.22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线倾斜角.【答案】（1） ； （2） 或.【解析】【分析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为 当时，直线的直角坐标方程为 因为， 因为，所以所以的直角坐标方程为 （2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得因为，可设该方程的两个根为，则 ，所以 整理得，故因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或 解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离 当时，直线的直角坐标方程为，符合题意 当时，直线的方程为所以，整理得解得综上所述，直线的倾斜角为或【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.选修4-5