广东汕头金山中学高中数学初高中衔接材料三二次函数的图象和性质

二次函数yax2bxc的图象和性质二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yabxc(a0)的图象的方法：由于yabxca()ca()c ，所以，yabxc(a0)的图象可以看作是将函数ya的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yabxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yabxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y。（2）当a0时，函数yabxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y。 上述二次函数的性质可以分别通过图223和图224直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图2.25xyOxA图2.2-3xyOxA图2.2-4例1 求二次函数y36x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。解：y36x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图25所示）。说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。函数yabxc图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a决定。确定对称轴：对称轴方程为确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程bxc=0求出若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出若0则与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图：（1） (2) (3) 例2. 把二次函数ybxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值。解法一：ybxc(x +)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y的图像，所以， 解得b8，c14。解法二：把二次函数ybxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数ybxc的图像。由于把二次函数y的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y(x4)22的图像，即为y8x14的图像，函数y8x14与函数ybxc表示同一个函数，b8，c14。例3. 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值。 解：（1）当a2时，函数y的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0。xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa24练习 1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A）y2 （B）y24x2 （C）y21 （D）y24x （2）函数y2(x1)22是将函数y2（ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2填空题（1）二次函数y2mxn图象的顶点坐标为(1，2)，则m ，n 。（2）已知二次函数y+(m2)x2m，当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 时，函数图象的顶点在x轴上；当m 时，函数图象经过原点。（3）函数y3(x2)25的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x 时，函数取最 值y ；当x 时，y随着x的增大而减小。3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象。（1）y2x3； （2）y16 x。4已知函数y2x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：；四、 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yabxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)。除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yabxc(a0)的图象与x轴交点个数。当抛物线yabxc(a0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有abxc0。 ，并且方程的解就是抛物线yabxc(a0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线yabxc(a0)与x轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式b24ac有关，由此可知，抛物线yabxc(a0)与x轴交点个数与根的判别式b24ac存在下列关系：（1）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立。（2）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立。（3）当0时，抛物线yabxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yabxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立。于是，若抛物线yabxc(a0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程abxc0的两根，所以x1x2，x1x2，即(x1x2)， x1x2。所以，yabxca()= a(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2)。 由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1)(xx2)(a0)。这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标。今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题。例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式。解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2。又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1。顶点坐标是（1，2）。设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2。二次函数解析式为，即y2x28x7。例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3)(x1)(a0)，展开，得：ya2ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a。所以，二次函数的表达式为y，或y。分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式。解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1。又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2。于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22。a，或a。所以，所求的二次函数为y(x1)22，或y(x1)22。例3已知二次函数的图象过点(1，22)，(0， 8)，(2，8)，求此二次函数的表达式。解：设二次函数为。由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得，解得故所求二次函数为y2x212x8。通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题:（1）函数yx2x1图象与x轴的交点个数是（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定（2）函数y(x1)22的顶点坐标是（ ）（A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2.填