广东汕头金山中学高中数学初高中衔接材料二一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式1.一元二次方程bc0（a0）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫做一元二次方程bc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示。对于一元二次方程bc0（a0），有（1）当0时，方程有两个不相bc0等的实数根；（2）当0时，方程有两个相等的实数根，；（3）当0时，方程没有实数根。例1 判定下列关于的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）330； （2）10；（3）(1)0； （4）2a0。解：（1）3241330，方程没有实数根。（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根，。（3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1。（4）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根，；当0，即a1时，方程有两个相等的实数根x1x21；当0，即a1时，方程没有实数根。说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。2. 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程bc0（a0）有两个实数根则有；所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果bc0（a0）的两根分别是,，那么+， 。这一关系也被称为韦达定理。例1、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值。解法一：2是方程的一个根，522k260，k7。所以，方程就为5x27x60，解得2，。所以，方程的另一个根为，k的值为7。解法二：设方程的另一个根为，则 2，。由（）2，得 k7。所以，方程的另一个根为，k的值为7。例2、 已知关于的方程2(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值。解：设,是方程的两根，由韦达定理，得+2(m2)，m24。21，(+)23 21，即2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170，解得m1，或m17。当m1时，方程为650，0，满足题意；当m17时，方程为302930，302412930，不合题意，舍去。综上，m17。说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。例3、已知两个数的和为4，积为12，求这两个数。解法一：设这两个数分别是，则 解得： ，因此，这两个数是2和6。解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根。解这个方程，得2，6。所以，这两个数是2和6。说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。例4、 若和分别是一元二次方程25x30的两根。（1）求|的值； （2）求的值； （3）。解：和分别是一元二次方程2530的两根，。（1）| |2x12+ x222 (+)246，|-|。（2）。（3）(+2)( )(+) (+) 23()()23()。说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程bc0（a0），则，|-|。于是有下面的结论：若和分别是一元二次方程bc0（a0），则|-|（其中b24ac）。今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。例5 若关于x的一元二次方程a40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围。解：设,是方程的两根，则a40，且(1)24(a4)0。由得a4，由得a。a的取值范围是a4。习题2.1 A组1选择题:（1）已知关于的方程k20的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程2x70的两根之和为2，两根之积为7；方程370的两根之和为0，两根之积为；方程32x0的两根之和为2，两根之积为0。（3）关于x的一元二次方程a5xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程k4x10的两根之和为2，则k 。（2）方程2x2x40的两根为，则22 。（3）已知关于x的方程ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 。（4）方程22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 。3试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数。B 组1选择题:若关于x的方程(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为（ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程2005x10的两实数根，则m2nmn2mn的值等于 。（2）若a，b是方程x10的两个实数根，则代数式a3a2bab2b3的值是 。3已知关于x的方程kx20。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围。4一元二次方程abxc0（a0）的两根为x1和x2。求：（1）| x1x2|和；（2）x13x23。5关于x的方程4xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值。C 组1.选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1， x2是方程24x10的两个根，则的值为（ ）（A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果关于x的方程2(1+m)xm20有两实数根，则的取值范围为（ ）（A） （B） （C）1 （D）1 （4）已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程c(ab)x0的根的情况是（ ）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2.填空：若方程8xm0的两根为x1，x2，且3x12x218，则m 。3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4k4kxk10的两个实数根。（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k2，试求的值。4已知关于x的方程。（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值及相应的x1，x2。6二次函数f(x)ax2bxc，a为正整数，c1，abc1，方程ax2bxc0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是 ()A3 B4 C5 D6解析由题意得f(0)c1，f(1)abc1.当a越大，yf(x)的开口越小，当a越小，y