广东汕头金山中学高三数学上学期期末考试理

广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的)1. 若,则( )A. 1B. 1C. iD. i2. 如图所示,向量A,B,C在一条直线上,且，则( )A. B. C. D. 3. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地.”请问此人第天走的路程为( )A. 里 B. 里 C. 里 D. 里4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 5. 已知命题,使得,命题对若为真命题,则的取值范围是( )A. B. C. D. 6. 已知直线 平行,则实数的值为( )A. B. C. 或D. 7. 已知数列的前项和为,且对于任意,满足,则( )A. B. C. D. 8. 已知函数,为的导函数,则函数的部分图象大致为( )A. B.C. D. 9. 如图,正四棱锥的侧面为正三角形,为中点,则异面直线和所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 10. 函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在,使得不等式成立,则的最小值是( )A. B. C. D. 11. 已知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为,第二行为,第三行为第四行为如图所示,在宝塔形数表中位于第行,第列的数记为,比如若,则( )A. B. C. D. 12. 已知菱形的边长为,，沿对角线将菱形折起,使得二面角的余弦值为,则该四面体外接球的体积为( )A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13. 设变量满足约束条件：,则的最大值是 14. 函数最小正周期是,则函数的单调递增区间是 15. 已知函数 , 由 是奇函数, 可得函数的图象关于点对称, 类比这一结论得函数的图象关于点_对称16. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）17. (12分）在中,角的对边分别为.()求角的大小；()若,求的取值范围18. (12分）已知为等差数列, 前项和为,是首项为的等比数列且公比大于,()求和的通项公式；()求数列的前项和19. (12分）如图, 在四棱锥中, 平面平面, ， ，, 是的中点(1)证明：； (2)设,点在线段上且异面直线与所成角的余弦值为,求二面角的余弦值20. (12分）已知椭圆的离心率为, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为()求椭圆的方程；()如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为, 当动点在定直线上运动时, 直线、分别交椭圆于、两点, 求四边形面积的最大值21. (12分）已知函数(1) 当时,求函数在处的切线方程；(2) 令, 求函数的极值；(3) 若, 正实数满足, 证明：(22题、23题选择一道作答)22、(10分）在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数)(1)若,求与的交点坐标；(2)若上的点到距离的最大值为,求23、 (10分）已知函数(1)解不等式(2)设函数最小值为,若实数、满足, 求最小值汕头市金山中学2019级高三上学期期末理科数学参考答案1-12 CDDDA AAAAB DB13. 8 14. k6,k+3,kZ 15. (72,6) 16. 17. 解：(I)由acbc=sinBsinA+sinC,利用正弦定理可得：acbc=ba+c,化为：b2+c2a2=bc由余弦定理可得：cosA=b2+c2a22bc=12,A(0,)A=3()在ABC中有正弦定理得asin3=bsinB=csinC,又a=2,所以b=433sinB,c=433sinC=433sin(23B),故b+c=433sinB+433sin(23B)=433(32sinB+32cosB)=4sin(B+6),因为0B23,故6B+656,所以120,解得q=2,所以bn=2n由b3=a42a1,可得3da1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2所以an的通项公式为an=3n2,bn的通项公式为bn=2n；()设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n2,有Tn=42+1022+1623+(6n2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n8)2n+(6n2)2n+1,上述两式相减,得Tn=42+622+623+62n(6n2)2n+1=12(12n)124(6n2)2n+1=(3n4)2n+216,得Tn=(3n4)2n+2+16所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n+2+1619. 证明：(1), BAAD,平面ABCD平面PAD,交线为AD,BA平面PAD,BAPD,在PAD中,APsinADP=ADsinAPD,sinAPD=1,APPD,BAAP=A,PD平面PAB,PB平面PAB,PDPB解：(2)如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴,射线PA为y轴,建立空间直角坐标系,AD=2,AB=BC+AP=1,PD=3,P(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,1),C(32,12,1),E(32,0,0),设PM=PC,则PM=(32,12,1),M(32,12,),BM=(32,121,1),又CE=(0,12,1),点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,|cos|=|56|25223+2=105,整理,得9236+20=0,解得=23或=103(舍),M(33,13,23),设平面MAB的法向量m=(x,y,z),则mBM=33x23y13z=0nBA=z=0,取x=2,得m=(2,3,0),由(1)知PD平面PAB,平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),cos=|mn|m|n|=277二面角MABP的余弦值为27720. 解：()根据题意,椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则有a=2c,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43,则有2ab=43,又a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,故椭圆C的方程为x24+y23=1；()由对称性,可令点M(4,t),其中t0将直线AM的方程y=t6(x+2)代入椭圆方程x24+y23=1,得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0,由xAxP=4t210827+t2,xA=2得xP=2t25427+t2,则yP=18t27+t2再将直线BM的方程y=t2(x2)代入椭圆方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0,由xBxQ=4t2123+t2,xB=2得xQ=2t263+t2,则yQ=6t3+t2故四边形APBQ的面积为S=12|AB|yPyQ|=2|yPyQ|=2(18t27+t2+6t3+t2)=48t(9+t2)(27+t2)(3+t2)=48t(9+t2)(9+t2)2+12t2=489+t2t+12t9+t2由于=9+t2t6,且+12在6,+)上单调递增,故+128,从而,有S=48+126当且仅当=6,即t=3,也就是点M的坐标为(4,3)时,四边形APBQ的面积取最大值621. 解：(1)当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为(1,1),又f(x)=1x+1,则切线斜率k=f(1)=2,故切线方程为：y1=2(x1),即2xy1=0；(2)g(x)=f(x)(ax1)=lnx12ax2+(1a)x+1,所以g(x)=1xax+(1a)=ax2+(1a)x+1x,当a0时,因为x0,所以g(x)0所以g(x)在(0,+)上是递增函数,无极值；当a0时,g(x)=a(x1a)(x+1)x,令g(x)=0,得x=1a或1,由于x0,所以x=1a所以当x(0,1a)时,g(x)0；当x(1a,+)时,g(x)0时,函数g(x)的递增区间是(0,1a),递减区间是(1a,+),x=1a时,g(x)有极大值g(1a)=12alna,综上,当a0时,函数g(x)无极值；当a0时,函数g(x)有极大值12alna,无极小值；(3)由x10,x20,即x1+x20,所以x1+x22+x1+x2=x1x2lnx1x2,令,且令t=x1x2,则t=tlnt由x10,x20得,(t)=t1t,t0,可知,(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增所以(t)(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)1,解得x1+x2512或x1+x2512,又因为x10,x20,因此x1+x2512成立22. 解：(1)曲线C的参数方程为x=3cosy=sin(为参数),化为标准方程是：x29+y2=1；a=1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y3=0；联立方程x29+y2=1x+4y3=0,解得x=3y=0或x=2125y=2425,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(2125,2425).(2)l的参数方程x=a+4ty=1t(t为参数)化为一般方程是：x+4ya4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cos,sin),0,2),所以点P到直线l的距离d为：d=|3cos+4sina4|17=|5sin(+)a4|17,满足tan=34,且的d的最大值为17当a40时,即a4时,|5sin(+)a4|5a4|=|5+a+4|=17解得a=8和26,a=8符合题意当a40时,即a4时|5sin(+)a4|5a4|=|5a4|=17,解得a=16和18,a=16符合题意23. 解：(1)当x0时,则f(x)=3x+24,解得：23x2时,则f(x)=3x24,此时无解,综上,不等式的解集是x|23x2；(