广东清远高三数学上学期期末考试理

广东省清远市2016届高三数学上学期期末考试试题 理（扫描版）清远市20152016学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学1、 选择题：序号123456789101112答案ABDBCADCDCBA2、 填空题13.（2，-2）; 14. 2或-1 ； 15.14.1或10； 16. 16试题分析：，当且仅当时，等号成立，即的最小值是三、解答题17.（本小题满分12分）已知函数,设的内角的对应边分别为，且.（1）求C的值.（2）若向量与向量共线，求的面积.解：（1）.1分.2分由得，.3分又.4分，.5分即C=.6分（2）向量与向量共线，7分，8分由余弦定理，得.9分由得.10分的面积为.12分18. 已知: 如图，等腰直角三角形的直角边AC=BC=2，沿其中位线将平面折起，使平面平面，得到四棱锥，设、的中点分别为、.（1）求证：、四点共面；（2）求证：平面平面； （3）求异面直线BE与MQ所成的角.ADEECBQADECBMNPADECB解：(1)由条件有PQ为的中位线，.1分又 MN为梯形BCDE的中位线 ，.2分PQMN .3分 M、N、P、Q四点共面。4分（2） 证明:在等腰直角三角形中，其中位线，则有ACBC,DEBC， 沿其中位线将平面折叠后有 ，CDDE 。5分 又，面ACD， .6分 又 平面， 7分又 平面， 平面平面.8分 (3) 解法一由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DRED，连结RC 则ERBC，ERBC，故BCRE为平行四边形 。9分RCBE，又ACQM 为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）。10分DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，由勾股定理得AC=AR=RC=， 。11分ACR为正三角形异面直线与所成的角大小为.。12分解法二：设所求异面直线所成的角为，由（2）得DA，DC，DE两两互相垂直，如图以ED为x轴，DC为y轴，DA为z轴，D为原点建立空间直角坐标系，。9分由题意得Q（0,0,1），M（0,1,0），E(-1,0,0),B(-2,1,0)。10分。11分，异面直线与所成的角大小为.。12分19. （本题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）0.250.5124销量y（件）1612521(1) 根据上面的数据判断，与哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2) 根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(计算结果保留两位小数)参考公式：解：（1）更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程。 2分（2）令t，则y， 3分原数据变为：(得到每行正确数据各得1分）t4210.50.25y1612521ty6424510.25t216410.250.0625 6分1.55，7.2. 7分c4.13 8分（即c计算正确的4分）dc0.8. 10分y0.84.13 t.y与x的回归方程是y0.8. 12分20如图，点分别在射线，上运动，且.（1）求；（2）求线段的中点的轨迹方程；（3）判定中点到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由。20【解析】（1）设，AOB， 1分由可得，解法一：那么，3分（解法二：（0,90） ，sin=, cos=, sin2=3分)又， 4分，化简得，式5分(2)是与的中点，且，6分联立可得 ，7分并代入式，得，8分中点的轨迹方程是，() 9分（）设中点到射线、的距离分别为、，则， 10分那么 11分中点到两射线的距离积为定值 12分21.（本小题满分12分）设， （1） 当=1时，求曲线在点处的切线方程；（2） 若是函数的极大值点，求的取值范围；（3） 当时，在上是否存在一点，使成立？说明理由。解：（1）当时，,1分 所以曲线在点处的切线的斜率为.2分所求切线方程为, 即.3分（2）, 令得，,4分当即时， 随的变化情况如下表：递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；当即时，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；当即时，随的变化情况如下表：递增非极值递增递增非极值递增由表知不是函数的极值点，不合题意；当即时， 随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极大值点，适合题意；7分综上所述，当时，是函数的极大值点即所求取值范围是.8分（3）假设当时，在存在一点，使成立， 则只需证明时, 即可 9分 由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，所以只需证明或即可. 10分 由知， 即成立，所以假设正确，11分即当时，在上至少存在一点，使成立12分22.（本小题满分10分）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBFC； (2)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长(1)证明：因为AD平分EAC，所以EADDAC.1分因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC. 2分因为EADFABFCB，3分所以FBCFCB，4分； 所以FBFC. 5分(2)解：因为AB是圆的直径，所以ACB90，6分又EAC120，所以ABC30，7分DACEAC60，8分因为BC6，所以ACBCtanABC2，9分所以AD4(cm)10分23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）是上的动点，点满足,（1）求曲线的普通方程.（2）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，直线与曲线相交于、.求的面积。解：（1）将(2)平方与(1)相除化简得曲线的普通方程.，1分设,由，得，3分是上的动点， 4分，即的普通方程为5分(2)解法一：在极坐标系中，直线与极轴相交于，6分曲线的极坐标方程是,7分由，得，或8分设，10分解法二：直线的直角坐标方程为x-y-2=06分 且与x轴交于D（2,0） 7分；联立，消元得，8分；设、 ，则9分ABO的面积9分，计算得SABO=3 10分24.（本小题满分10分）设.（1）解不等式；（2)已知正数，当时，恒成立，求证：。解：（1）显然，,当时，得，1分即,即；2分当时，得，即,无解；3分当时，得，即,无解；4分综上，不等式的解集是5分（2),6当且仅当x=1时等号成立7分当时，恒成立， 8分10分清远市20152016学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学1、 选择题：序号123456789101112答案ABDBCADCDCBA2、 填空题13.（2，-2）; 14. 2或-1 ； 15.14； 16. 16试题分析：，当且仅当时，等号成立，即的最小值是三、解答题17.（本小题满分12分）已知函数,设的内角的对应边分别为，且.（1）求C的值.（2）若向量与向量共线，求的面积.解：（1）.1分.2分由得，.3分又.4分，.5分即C=.6分（2）向量与向量共线，7分，8分由余弦定理，得.9分由得.10分的面积为.12分18. 已知: 如图，等腰直角三角形的直角边AC=BC=2，沿其中位线将平面折起，使平面平面，得到四棱锥，设、的中点分别为、.（1）求证：、四点共面；（2）求证：平面平面； （3）求异面直线BE与MQ所成的角.ADEECBQADECBMNPADECB解：(1)由条件有PQ为的中位线，.1分又 MN为梯形BCDE的中位线 ，.2分PQMN .3分 M、N、P、Q四点共面。4分（2） 证明:在等腰直角三角形中，其中位线，则有ACBC,DEBC， 沿其中位线将平面折叠后有 ，CDDE 。5分 又，面ACD， .6分 又 平面， 7分又 平面， 平面平面.8分 (3) 解法一由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DRED，连结RC 则ERBC，ERBC，故BCRE为平行四边形 。9分RCBE，又ACQM 为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）。10分DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，由勾股定理得AC=AR=RC=， 。11分ACR为正三角形异面直线与所成的角大小为.。12分解法二：设所求异面直线所成的角为，由（2）得DA，DC，DE两两互相垂直，如图以ED为x轴，DC为y轴，DA为z轴，D为原点建立空间直角坐标系，。9分由题意得Q（0,0,1），M（0,1,0），E(-1,0,0),B(-2,1,0)。10分。11分，异面直线与所成的角大小为.。12分19. （本题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）0.250.5124销量y（件）1612521(1) 根据上面的数据判断，与哪一个适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2) 根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(计算结果保留两位小数)参考公式：解：（1）更适宜作为产品销量y关于单价x的回归方程。 2分（2）令t，则y， 3分原数据变为：(得到每行正确数据各得1分）t4210.50.25y1612521ty6424510.25t216410.250.0625 6分1.55，7.2. 7分c4.13 8分（即c计算正确的4分）dc0.8. 10分y0.84.13 t.y与x的回归方程是y0.8. 12分20如图，点分别在射线，上运动，且.（1）求；（2）求线段的中点的轨迹方程；（3）判定中点到两射线的距离积是否是为定值，若是则找出该值并证明；若不是定值说明理由。20【解析】（1）设，AOB， 1分由可得，解法一：那么，3分（解法二：（0,90） ，sin=, cos=, sin2=3分)又， 4分，化简得，式5分(2)是与的中点，且，6分联立可得 ，7分并代入式，得，8分中点的轨迹方程是，() 9分（）设中点到射线、的距离分别为、，则， 10分那么 11分中点到两射线的距离积为定值 12分21.（本小题满分12分）设， （1） 当=1时，求曲线在点处的切线方程；（2） 若是函数的极大值点，求的取值范围；（3） 当时，在上是否存在一点，使成立？说明理由。解：（1）当时，,1分 所以曲线在点处的切线的斜率为.2分所求切线方程为, 即.3分（2）, 令得，,4分当即时， 随的变化情况如下表：递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；当即时，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极小值点，不合题意；当即时，随的变化情况如下表：递增非极值递增递增非极值递增由表知不是函数的极值点，不合题意；当即时， 随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增递增极大值递减极小值递增由表知是函数的极大值点，适合题意；7分综上所述，当时，是函数的极大值点即所求取值范围是.8分（3）假设当时，在存在一点，使成立， 则只需证明时, 即可 9分 由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，所以只需证明或即可. 10分 由知， 即成立，所以假设正确，11分即当时，在上至少存在一点，使成立12分22.（本小题满分10分）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FBFC； (2)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC6 cm，求AD的长(1)证明：因为AD平分EAC，所以EADDAC.1分因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC. 2分因为EADFABFCB，3分所以FBCFCB，4分； 所以FBFC. 5分(2)解：因为AB是圆的直径，所以ACB90，6分又EAC120，所以ABC30，7分DACEAC60，8分因为BC6，所以ACBCtanABC2，9分所以AD4(cm)10分23.（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）是上的动点，点满足,（1）求曲线的普通方程.（2）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，直线与曲线相交于、.求的面积。解：（1）将(2)平方与(1)相除化简得曲线的普通方程.，1分设,由，得，3分是上的动点， 4分，即的普通