广东珠海一中等六校高三数学第一次联考理

2018届高三六校第一次联考理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解A=(0,1) B=(0,), 2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，其对应点为（cos2，sin2），由2，因此cos20，sin20，点（cos2，sin2）在第二象限，故e2i表示的复数在复平面中位于第二象限3. 已知a=1，b=2，且ab，则a+b为（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 22【答案】B【解析】试题分析：ab,|a+b|2=a2+2ba+b2=1+2=3|a+b|=3考点：向量的运算4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：k=0,s=1,03,s=1,k=1,13,s=2,k=2,23,s=8,k=3,3b0，则lnan+22n1”的否定是“nN*，3nn+22n1”D. 已知函数fx在区间a,b上的图象是连续不断的，则命题“若fafbb，所以lnalnb。B，两个向量垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0，所以m+m2m-1=0,m=0C，否定是“nN*，3nn+22n-1D，否命题为若fx在区间a,b内至少有一个零点，则函数fx在区间a,b上的图象是连续不断的是假命题，例如正弦函数在（0，2）上，有一个零点但是 f0f2=07. 已知m，n为异面直线，为平面，m，n.直线满足lm，ln，l，l，则（ ）A. ，且l B. ，且lC. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于【答案】D【解析】若/,则m/n,与m,n是异面直线矛盾;过点O,分别作k/m，且r/n，则k,r确定一平面，则l ，设与相交于p，则k/p，且r/p,因此p ,从而l/ p，选D.8. 若x，y满足x+y12xy03x2y+20则z=3xy的最大值为（ ）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由约束条件 x+y12x-y03x-2y+20 作出可行域如图，联立 3x-2y+2=03x-y=2 ，解得A（2，4），化目标函数z=3xy为y=3xz，由图可知，当直线z=3x-y过A时可知取得最值，代入得2点睛：画出可行域，将目标函数化成截距式，截距越小，目标函数值越大9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A. 2018年 B. 2019年 C. 2020年 D. 2021年【答案】B【解析】试题分析：设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130(1+12%)n200,1.12n200130，两边取常用对数得nlg1.12lg200130,nlg2lg1.3lg1.12=0.30.110.05=3.8,n4，故选B.考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.10. 已知函数fx=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）A. y=fx的图象关于点,0中心对称 B. y=fx的图象关于x=2对称C. fx的最大值为32 D. fx既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：由题意得，A中，因为f(2x)+f(x)=cos(2x)sin2(2x)+cosxsin2x=cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f(x)的图象关于(,0)中心对称，所以正确；B中，因为f(x)=cos(x)sin2(x)=cosxsin2x=f(x)，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称是正确的；C中，f(x)=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx(1sin2x)=2sinx2sin3x，令t=sinx1,1，则y=2t2t3,t1,1，因为y=26t2，当时，y0，当t1,33,t33t1时，y1，则函数Fx=ffx2fx32的零点个数是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）2t32=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1t22，即有f（x）=0有一根；1f（x）2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得F（x）=0的实根个数为4，即函数F（x）=ff（x）2f（x）的零点个数是4.点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若0nx5dx=25，则2x1n的二项展开式中x2的系数为_【答案】180【解析】解：0nx-5dx=25，n=10则（2x1）10的二项展开式中，x2的系数为C10222（1）8=180，14. 已知直线y=ax与圆C：x2+y22ax2y+2=0交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为_【答案】6【解析】圆C x2+y22ax2y+2=0 ，化为(xa)2+(y1)2=a21 ，圆心C(a,1) ，半径R=a21 ，因为直线y=ax 和圆C相交，ABC 为等边三角形，所以圆心C到直线axy=0 的距离为Rsin60=32a21 ，即d=|a21|a2+1=3(a21)2 ，解得a2=7 ，所以圆C的面积为R2=(71)=6 ，故答案为6 .15. 若曲线y=ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_【答案】ln2,2【解析】试题分析：设切点P (a,b)，则由y=ex得：k=ea=2,ea=2,a=ln2,b=ea=2，所以点P的坐标是(ln2,2).考点：利用导数求切点.16. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1=1，ak（k=2,3,4,5）出现0的概率为13，出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得1分，则100次重复试验的总得分X的方差为_【答案】30800729【解析】启动一次出现数字为A=|0|0|的概率P=(13)2(23)2=481由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有(100，481) 的数学方差为D=100*481*7781=308006561三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在ABC，B=3，BC=2（1）若AC=3，求AB的长（2）若点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足，ED=62，求角A的值.【答案】（1）AB=6+1；（2）A=4.【解析】试题分析: 先求CD，在BCD中，由正弦定理可得：BCsinBDC=CDsinB 结合BDC=2A，即可得结论解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+AC2-2ABACcosB即32=22+x2-2x2cos60解得：x=6+1所以AB=6+1（2）因为ED=62，所以AD=DC=EDsinA=62sinA.在BCD中，由正弦定理可得：BCsinBDC=CDsinB，因为BDC=2A，所以2sin2A=62sinAsin60.所以cosA=22，所以A=4.18. 如图，已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且ABC=60，AB=EC=2，AE=BE=2（1）求证：平面EAB平面ABCD.（2）求二面角AECD的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）二面角AECD的余弦值为277.【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。（I）证明：取AB的中点O，连接EO,COAE=EB=2,AB=2AEB为等腰直角三角形EOAB,EO=12分又AB=BC,ABC=60ACB是等边三角形CO=3，又EC=2,EC2=EO2+CO2，EOCO4分EO平面ABCD，又EO平面EAB平面EAB 平面ABCD;6分（II）以中点O为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则AC=(3,1,0),EC=(3,0,1),DC=(0,2,0)8分设平面的法向量n=(x,y,1)ECn=0DCn=0，即3x1=02y=0，解得x=33y=0，n=(33,0,1)设平面EAC的法向量m=(a,b,1)ACm=0ECm=0，即3a+b=03a1=0，解得a=33b=1，m=(33,1,1)10分cosm,n=mn|m|n|=277所以二面角AECD的余弦值为27712分19. 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：，）（1）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值.（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确到0.01）相比于（1）中的，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.【答案】（1），的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井；（3），分布列见解析.【解析】试题分析:（1）利用前5组数据与平均数的计算公式可得=5，=50，代入y=6.5x+a，可得a，进而定点y的预报值（2）根据计算公式可得-x，-y，b10.25，a=5.25，b=10.25，计算可得并且判断出结论（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=C4kC64C24-k，可得X的分布列及其数学期望解：（1）因为x=5，y=50.回归直线必过样本中心点x,y，则a=y-bx=50-6.55=17.5.故回归直线方程为y=6.5x+17.5，当x=1时，y=6.5+17.5=24，即y的预报值为24.（2）因为x=4，y=46.25，i=14x2i-12=94，i=14x2i-1y2i-1=945，所以b=i=14x2i-1y2i-1-4xyi=14x2i-12-4x2 =945-4446.2594-4426.83，a=y-bx=46.25-6.834=18.93，即b=6.83，a=18.93，b=6.5，a=17.5.b-bb5%，a-aa8%，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井61,24.（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，所以勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，PX=2=C42C22C64=25，PX=3=C43C21C64=815，PX=4=C44C20C64=115.X234P25815115EX=225+3815+4115=8320. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点P1,22，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）动直线：mx+ny+13n=0（m，nR）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x22+y2=1；（2）在坐标平面上存在一个定点T0,1满足条件.【解析】试题分析：（1）由题设知a=2b，所以 x22b2+y2b2=1 ，椭圆经过点P（1，22），代入可得b=1，a=2，由此可知所求椭圆方程（2）首先求出动直线过（0，13）点当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+13）2=169；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1由x2+（y+13）2=169x2+y2=1由此入手可求出点T的坐标解：（1）椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，a=2b，x22b2+y2b2=1又椭圆经过点P1,22，代入可得b=1.a=2，故所求椭圆方程为x22+y2=1.（2）首先求出动直线过0,-13点.当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y+132=432当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1由x2+y+132=432x2+y2=1解得x=0y=1即两圆相切于点0,1，因此，所求的点T如果存在，只能是0,1，事实上，点T0,1就是所求的点.证明如下：当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T0,1当直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-13由y=kx-13x22+y2=1消去y得：18k2+9x2-12kx-16=0记点Ax1,y1、Bx2,y2，则x1+x2=12k18k2+9x1x2=-1618k2+9又因为TA=x1,y1-1，TB=x2,y2-1所以TATB=x1x2+y1-1y2-1 =x1x2+kx1-43kx2-43=1+k2x1x2-43kx1+x2+169=1+k2-1618k2+9-43k 12k18k2+9+169=0所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T0,1所以在坐标平面上存在一个定点T0,1满足条件.21. 设函数fx=x2+aln1+x有两个极值点x1、x2，且x112ln24【答案】（1）fx在1,x1内为增函数，fx在x1,x2内为减函数，fx在x2,+内为增函数；（2）见解析.【解析】：（）首先求出函数的导数，因为原函数有两个极值点，所以导函数有两个不同解，因为真数x+10，所以两个根都要在定义域内，这样就转化为了一元二次方程根分布问题，求出a的取值范围.利用(x)0求得函数的的单调递增区间，利用(x)12In24恒成立，只需f(x2)的最小值大于12ln24即可.把恒成立问题转化为求函数的最值来解决，求函数的最值还是用导数.四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=acost,y=2sint（为参数，a0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为cos+4=22.（1）设P是曲