广东番禺中学度第一学期高三数学期末考试卷 新课标

广东省番禺中学2005-2006学年度第一学期高三数学期末考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设复数，则（）ABCD2. 在首项为，公差为的等差数列中，最接近零的是（）A第项B第项C第项D第项3. 已知命题：，命题：，则命题是命题的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4. 若点是角的终边上不同于原点的一点，则的值等于（）ABCD5. 已知函数，则该函数的反函数为（）A（）B（）C（）D（）6. 若为圆（）的某条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）ABCD7. 甲、乙两人独立地解同一道题，他们解对的概率分别是、，则他们二人中至少有一人解对此题的概率是（）ABCD8. 设平面平面直线，点、，点，且、均不在直线上，给出下面三个命题：；平面；平面。其中正确的命题的个数有（）A个B个C个D个9. 已知集合，从集合到的映射满足：的像有且只有个；，则适合条件的映射的个数有（）A个B个C个D个10. 定义、和分别对应下列图形：那么下列图形中（）（）（）（）可以表示和的分别是（）A（）和（）B（）和（）C（）和（）D（）和（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中相应的横线上。11. 在地球的北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经和西经，若地球的半径为，则此两地的球面距离是。12. 已知函数在上连续，则，。13. 在平面直角坐标系中给出区域（含边界），其中、和。若使目标函数的最优解有无穷多个，则。14. 函数满足（为大于零的常数），且正实数、满足，则的最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15. （本小题满分13分）某班有甲、乙两个研究性学习小组，甲组有优秀生2人和普通生2人共4人，乙组有优秀生2人和普通生3人共5人，因课题需要现两组交换一个学生。（）求甲组中恰有2个优秀生的概率；（）求甲组中优秀生个数的分布列和数学期望。16. （本小题满分12分）已知函数（、）。（）若的图像在部分在轴的上方，且在点处的切线与直线平行，求的取值范围；（）当、，且时，不等式恒成立，求的取值范围。17. （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，且，、分别为、的中点。（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离。18. （本小题满分14分）小明在伶仃岛上的处，上午11时测得在的北偏东的处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西的处，12时40分又测得轮船到达位于的正西方千米的港口处，如果该轮船始终保持匀速直线运动。求：（）点到的距离；（）轮船的航行速度。19. （本小题满分13分）已知定点、（），动点满足向量与共线。（）求动点的轨迹的方程，并判定曲线的类型；（）若曲线是双曲线，上支的顶点为，曲线的上支交直线于点，一条以为焦点，为顶点，开口向下的抛物线过点，设直线的斜率为，且，求实数的取值范围。20. （本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足，（）。（）证明：不等式对恒成立；（）证明：当且时，有；（）证明：（），其中无理数。参考答案一、选择题：题号12345678910答案ACABCADBBD二、填空题：题号11121314答案三、解答题：15解：（）甲、乙两组交换后甲组中恰有2个优秀生的概率为；（）甲、乙两组交换后甲组中优秀生个数的分布列为123从而的数学期望为。16解：（）。依题意，有，所以。因为的图像在部分在轴上方，所以在区间上的最小值大于零。令，于是由，知：在区间上的最小值为，故有；（）（），即当时，即恒成立，由此得。17解：如图建立空间直角坐标系，则，从而，。（）证明：因为，所以，即；（），设为平面的法向量，则，可以取。又因为是平面的法向量，所以由知二面角的大小为；（）由（）知：是平面的法向量，由此及得点到平面的距离为。18解：（）如图建立平面直角坐标系，且设（），依题意，点分有向线段所成的比，由此及得点的坐标为，。又点在直线上，故有。因此，有，从而点到点的距离为；（）由（）知：，所以，而从点到点共航行了小时，故轮船的航行速度为千米/小时。19解：（）由已知条件得，由此及向量与共线得，即：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则方程表示圆心在原点的圆；若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则方程表示两条平行于轴的直线；若，则方程表示焦点在轴上的双曲线。（）若是双曲线，则，从而由，而以为焦点，为顶点，开口向下的抛物线方程为（），因此，由此抛物线经过点得，注意到，故有。直线的斜率，由此及得，即有，由此及