广东省深圳市高级中学学年高二数学上学期期中试题文 (1)

深圳市高级中学20182019学年第一学期期中考试高二文科数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可【详解】由A中不等式变形得：x（x-3）0，解得：0x3，即A=x|0x3，B=x|-1x2，AB=x|-1x3，故选：B【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.已知平面向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为，且，所以， ，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.3. “（x+1）（x3）0”是“x1”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当“（x+1）（x3）0”成立时，可以推出“x1”成立，反之则不一定能推由此即可得到“（x+1）（x3）0”是“x1”的充分不必要条件解：当“（x+1）（x3）0”成立时，可得1x3此时必定有“x1”成立，故充分性成立；反之，当“x1”成立时，不一定有“1x3”成立，因此也不能推出“（x+1）（x3）0”成立，故必要性不成立综上所述，“（x+1）（x3）0”是“x1”的充分不必要条件故选：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断4.下列函数中,在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐一分析，即可确定答案.【详解】选项A，底数，在上单调递增，故A正确;选项B，在上单调递增，则在上单调递减，故B错误；选项C，底数，在上单调递减，故C错误；选项D，在上单调递减，故D错误.故选A.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，考查常见基本初等函数的单调性，属于基础题.5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论【详解】函数，为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题6.过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。【详解】过AB的直线方程为 ，A、B的中点为 所以AB的垂直平分线为 所以圆心坐标为，解得，即圆心坐标为半径为 所以圆的方程为所以选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及其简单应用，注意弦的垂直平分线经过圆心这个特殊性质，属于基础题。7.已知椭圆+=1（ab0）的左，右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2F1F2，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由AF2F1F2结合椭圆基本关系可求A点为，由直线AB的斜率为1可建立方程=1，整理可得关于e的方程，解方程即可。【详解】如图，由AF2F1F2，设A（c，），（），则=1，结合解得yA=A=1，化简得2ac=b2=a2c2，e2+2e1=0，解得e=1或e=A 或 或【点睛】本题考查了三角形面积公式和余弦定理，正弦定理的应用，三角形面积公式中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件；已知三边关系，可转化为接近余弦定理的形式，运用余弦定理理解三角形，注意整体代入思想的应用.20.已知O为坐标原点，抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求实数k的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线联立方程组，通过韦达定理，推出A、B两点纵坐标的关系，求出OA与OB的斜率之积为-1，从而得OAOB；（2）设直线与横轴的交点为N，求出N（-1，0），利用，根据OAB的面积等于可求k的值。【详解】（1）显然k0联立，消去x，得ky2+yk=0 如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x10，x20，由根与系数的关系可得y1+y2=，y1y2=1 因为A，B在抛物线y2=x上，所以=x1，=x2，=x1x2因为kOAkOB=1，所以OAOB（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=1，即N（1，0）因为SOAB=SOAN+SOBN=ON|y1|+ON|y2|=ON|y1y2|=1，所以，解得k=【点睛】本题考查直线与抛物线的关系，韦达定理的应用，三角形面积的转化，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题。21.设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义求出a,b的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为，再构造函数证明其最大值小于1即得证.【详解】，由已知，故a=-2,b=-2.，当时，当时，故f(x)在单调递减，在单调递减； ，即，设，所以g(x)在递增，在递减，当x0时，.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为证明.22.已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点当时，过定点【详解】（1）解：点在椭圆上，又离心率为，解得，椭圆方程为（2）证明：设直线的方程为，则直线的方程为，联立，得，设，则，由中点坐标公式得，将的坐标中的用代换，得的中点，直线的方