成都双流中学高二数学空间向量运算及应用 人教

成都市双流中学高二数学空间向量运算及应用一、知识点：1已知均为非零向量，当表示的有向线段所在直线平行 或重合时，称。2当表示向量的有向线段所在直线平行面或在面内时，称面3当不共面时，它们可作为基向量而构成基底.4与非零向量同方向的单位向量为.5向量运算规则及重要定理：向量运算规则 坐标运算()（1）.共线向量定理：若 ，则 （1）. 关于的方程组 有解.(). （2）.已知不共线，则共面 （2）.已知不共线，则共面 存在实数满足：. 存在实数满足：。（3）.四点共面存在实数 （3）.， 满足：.存在 则共面存在实数满足：，且 实数满足： .（4）.已知为不共面的三个向量，则对空间中任意一向量，总存在实数满足：。（5）.。 （5）.。（6）.。 （6）.。 当时，0（7）. （7）.（8）.距离公式：。 （8）.若，则（9）.点为的中点 （9）.若，则中点坐标为： 。（10）.点为的重心. （10）.已知，其中点为空间中任意一点。 则重心坐标为：。6.若若则7在上的射影向量的数量为：；射影向量的模为：；射影向量为：。二、专题训练：1设为空间任意四个点，若且则（ ） 在直线上 三点不共线 有可能在直线上 以上都不对2若点在平面内，点为空间中的任意一点，则的值为（） 3在平行六面体中，点分别为的中点，则 化简的结果为（） 4在以下命题中，不正确的命题个数是（ ）对于空间中任意的四点恒有；共线；若与共线，则与所在直线平行；对空间中任意的一点和不共线的三点若（，则四点共面。 5若点为的重心，点是空间中任意一点，则下列结论中（ ）是正确的。 6下列命题正确的是（）若则三点共线 若为一个基底，则也为一个基底 为直角三角形的充要条件是7设为空间不共面的四点，且满足则是（） 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形8若均为单位向量，且则（） 解:9正四面体的棱长为点分别为棱的中点，则四个数量积：；中结果为的共有（）个 解：。 10正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） 解：设该四面体的棱长为 ，选11如图,为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则( ) 解：以点为原点，建立直角坐标系如图。设该正方体的棱长为则点设则由已知：即：12已知则中边上的高（ ） 解：13已知向量则向量在向量方向上的射影向量的模为 。解：所求模为。14已知两点则直线与平面的交点坐标为 。解：设直线与平面的交点为则，点共线， 所求交点为15如图，在矩形中，平面，且若在边上存在两个点使得则正实数的取值范围是 。解:建立空间直角坐标系如图。则 点 设点 因为 即：,由题意:该方程在内有两个实数解, 当该方程的解为：，所求范围是16如图，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰三角形，是的中点，点在棱上，要使平面，则 。解：以点为坐标原点，建立直角坐标系如图，则点设点由已知：解之得：或，或。17如图所示，边长为的正方形和正方形相交于点分别是上的动 点，且试用向量解决：（1）证明：面，（2）求的最小值。解：（1）由题意，设则 面，面，面。（2）时，当点位于中点时，小结：应用向量解决立几问题，首先要选择 ；然后将所涉及到的向量都用 表示出来，最后再用有关定理解决。 证明线面平行的基本思路为：要证直线面，先在面内找出恰当的两个相交向量，在直线上取向量， 再证明：存在实数使得 。18如图，已知平行六面体中，底面是菱形，且。（1）求证：； （2）当的值为多少时，能使？请给出证明。解：（1）小结：直线面等价于直线垂直于平面内的两条 直线。19 如图，已知，四面体，点分别为的重心。（1）求证：（2）若求证： 解：（1） 又 面面面（2） 如图建立坐标系。则点, 点, 点。点分别为的重心， 点, , ，。20.如图所示，直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角