普通高等学校招生全国统一考试数学文全国卷II解析

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷 IIII，解析版），解析版） 【名师简评】2010 年全国 2 卷文科数学试题从整体看，强调了基础知识和基本方法技能的落实，全卷结构 平稳，题型常规，注重基础过关，考生容易上手，同时试题又力求创新，注重了对考生能力的考查，所以 要得高分也极不容易，考生常有笑着提笔，哭着收笔的感觉.如 20 题考查与物理学电路相关的知识，对文 科同学来讲，命题背景新颖却又不超纲，符合 2010 年考试说明精神；如 22 题 2 小题，一改方法简单 却超大计算量的风格，重在对思维的考查，对数学能力有较高要求，具有较好的选拔性，如 11 题对空间 想象能力有较高要求；21 题 2 小题等等能有效区分不同能力层次的考生群体.本套试卷基础题约占 84 分， 中档题约占 39 分，有较大难度试题约占 27 分，有较好的梯度和区分度；本题还注重数学思想方法的渗透， 如 2、5、6、12、18、21 题，有效地考查了函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想和化归转化的数 学思想. 第第卷卷 （选择题）（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ( + )( )+ ( )P A BP AP B S=4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ()( )( )P A BP AP B 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 - ( )(1-)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn 一、选择题一、选择题 （1）设全集 * N6Uxx，集合 1,33,5AB，则 U( )AB （ ） （A） 1,4 （B） 1,5 （C） 2,4 （D） 2,5 【答案】C 【命题意图】本题考查求集合的并集和补集，集合的子交并补等基本运算是历年高考的热点，属于基础题 型，需要考生熟练掌握. 2 【解析】 5 , 4 , 3 , 2 , 1U，1,3,5AB ，()2,4 U AB，或者由狄莫弗性质： ()()() UUU ABAB，故选 C. （2）不等式 3 0 2 x x 的解集为（ ） （A）23xx （B）2x x （C）23x xx 或 （D）3x x 【答案】A 【命题意图】本题考查分式不等式的解法，转化成整式二次不等式求解，蕴涵了等价转化的数学思想. 【解析】320)2)(3(0 2 3 xxx x x ，故选 A. （3）已知 2 sin 3 ，则cos(2 ) （A） 5 3 （B） 1 9 （C） 1 9 （D） 5 3 【答案】B 【命题意图】本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，在三角化简求值等运算中，公式是基础. 【解析】 9 1 1 9 8 1sin22cos)2cos( 2 ，故选 B. （4）函数1 ln(1)(1)yxx 的反函数是 （A） 1 1(0) x yex （B） 1 1(0) x yex （C） 1 1(R) x yex （D） 1 1(R) x yex 【答案】D 【命题意图】本题考查求函数的反函数的三步骤：1.求原函数的值域，2.反解解析式，3.对调yx,写出 定义域(即原函数值域). 【解析】1,Rxy ，由1) 1ln(1 iy exxy， 11 ( )1(R) x fxex ，故选 D. （5）若变量, x y满足约束条件 1 325 x yx xy ，则2zxy的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3 （6）如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列基本量的计算， 1 a，d，n， n a， n S五个量知三求二，应用到方程思想， 同时也考查了等差数列的通项公式和前n项和公式. 【解析】1293 1543 daaaa，43 1 da，而daS 2 ) 17(7 7 17 2847)3(7 1 da，故选 C. （7）若曲线 2 yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10 xy ，则 （A）1,1ab （B）1,1ab （C）1,1ab （D）1,1ab 【答案】A 4 【命题意图】本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导函数值等于图象在这点的切线的斜率. 【解析】12| 0 aaxyk x ，又切线过该点), 0(b，1b，故选 A. （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直 线AB与平面SBC所成角的正弦值为 （A） 3 4 （B） 5 4 （C） 7 4 （D） 3 4 （9）将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 【答案】B 【命题意图】本题考查排列组合的分配问题，解决方法是：先分组，后全排；也考查了平均分组问题，用 除法处理，考生要注意除法意义上的理解. 【解析】先将 1，2 分为一组，再将 3，4，5，6 平均分为 2 组，共有3 2 2 2 2 2 4 A CC 种分法，然后在将三组 卡片全排列在 3 个信封里，不同的放法有183 3 3 A种.故选 B. （10）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若CBa，CAb，1,2ab，则CD= （A） 12 33 ab （B） 21 33 ab （C） 34 55 ab （D） 43 55 ab 【答案】B 【命题意图】本题考查平面向量加减运算法则和线性基底表示，属于向量基本集合性质；还考查了角平分 线定理，这个知识点初高中教材中均未明确提出，很多学生比较生疏，需引起注意. 5 【解析】由角平分线定理知： 1 2 CB CA DB AD ， ABAD 3 2 ， bababADCACD 3 1 3 2 )( 3 2 .故选 B. （11）与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 （12）已知椭圆C： 2 2 x a + 2 2 b y =1(0)ab的离心率为 2 3 ，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与C 相交于A、B两点，若AF=3FB，则k= （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 【命题意图】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，是近年来高考中常考题型，知识覆盖宽，对分解决析 问题能力和计算能力要求较高涉及交点问题，面积问题，夹角问题，弦长问题通常需要联立直线和曲线 方程，利用韦达定理求解.本题对椭圆的形状可特殊化处理，简化计算，降低难度. 【解析】 2 3 e， 1, 3, 2bca则取，)0 , 3(F，椭圆方程为：1 2 2 2 y x )3( xkyl的方程为：设直线 ，联立化简得：02634)21 ( 2222 kxkxk， 设交点),(),( 2211 yxByxA，由 FBAF3得：)3(33 21 xx，代入韦达定理： 6 343 21 26 21 34 21 2 2 21 2 2 21 xx k k xx k k xx 消去 21 xx 和，解得：2k.故选 B. 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 （13）已知是第二象限的角， 1 tan 2 ，则cos_. 【答案】 5 52 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，以及二象限内函数符号. 【解析】由 2 1 tan易知： 5 5 sin， 5 52 cos. (14) 9 1 ()x x 的展开式中 3 x的系数是_ 【答案】84 【命题意图】本题考查二项式展开式指定某项的系数，关键是由通项公式求出r. 【解析】 rrrrr r xC x xCT 29 9 9 91 ) 1 ( ，令329 r得3r，故系数为84 3 9 C (15) 已知抛物线 2 C2(0)ypx p：的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C 的一个交点为B，若AMMB ，则p=_. 【答案】2 【命题意图】本题考查直线和抛物线的位置关系，由已知可以直接写出该直线方程，进而求出A点坐标， 注意到M为线段AB中点，可得点B的坐标，代入抛物线C即可 【解析】直线方程) 1(3xy，令1x，得)32, 1(A，而中点)0 , 1 (M，所以)32 , 3(B，代入 pxy2 2 ，解得2p （16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=_. 【答案】3 7 【命题意图】本题考查球体中距离，夹角，可转化到直角三角形中利用垂径定理解决.欲求MN长度，关键 找夹角MON. 【解析】设AB中点为P，连接OP，在Rt OPA中，3224 22 OP， 6 sin MOP， 3 MON，则MON为等边三角形，所以MN=OM=ON=3. 三三 . .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （1717）（本小题满分）（本小题满分 1010 分）分） ABC中，D为边BC上的一点，BD=33, 5 sin 13 B , 3 cos 5 ADC.求AD. 【命题意图】本题着重考查了正弦定理，三角形外角定理以及正弦的和角公式. 【参考答案】 解：解： 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得 124 cos,sin 135 BADC， 从而 sinsin()BADADCB =sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 . 由正弦定理得 sinsin ADBD BBAD , 所以 sin sin BDB AD BAD 5 33 13 =25 33 65 . 【点评】本题考查解三角形中的三角函数，这是近几年高考题目中的热点，可涉及三角恒等变换公式，和 差倍半公式，向量数量积，夹角，长度，面积公式以及正余弦定理等等，考查逻辑思维能力和等价转化能 力，和 08 年全国 2 卷相似，也是一大命题方向，应予以高度重视. （1818）（本）（本小题满分小题满分 1212 分）分） 8 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa . () 求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ,求数列 n b的前n项和 n T. （1919）（本小题满分）（本小题满分 1 12 2 分）分） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1. 9 （）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （）设异面直线AB1与CD的夹角为 45o,求二面角A1-AC1-B1的大小. 【命题意图】本题考查直棱柱概念，异面直线距离的定义和二面角求法. 【参考答案】 解法一：解法一： （）连结 1 AB,记 1 AB与 1 AB的交点为F.因为面 11 AABB为正方形，故 11 ABAB，且 1 AFFB.又 1 3AEEB，所以 1 FEEB，又D为 1 BB的中点，故 1 DEBFDEAB，. 作CGAB,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点. 又由底面ABC 面 11 AA B B，得CG 11 AA B B. 连结 DG，则 1 DGAB，故DEDG,由三垂线定理，得DECD. 所以 DE 为异面直线 1 AB与 CD 的公垂线. （）因为 1 DGAB，故CDG为异面直线 1 AB与CD的夹角，CDG=45 . 设 AB=2，则 1 AB2 2，DG= 2，CG= 2,AC= 3. 作 111 B HA C,H 为垂足，因为底面 11111 A B CAAC C 面,故 111 B HAAC C 面， 又作 1 HKAC，K 为垂足，连结 1 B K,由三垂线定理，得 11 B KAC，因此 1 B KH为二面角 10 111 A -AC -B的平面角. 2 2 111111 1 11 1 A BA CA B 22 2 B H= A C3 . 则 11 0,0m ACm AA AA, 11 即 22020 xyzy 且. 令2,1,0,( 2,0,1)xzym则故. 设平面 11 AB C的法向量为( , , )np q r， 则 11 0,0n ACn B A AA,即220,220pqrpq. 令2,2,1,( 2,2, 1)pqrn 则故， 所以 1 cos, 15 m n m n m n A . 由于,m n等于二面角 111 A -AC -B的平面角， 所以二面角 111 A -AC -B的大小为 15 arccos 15 . 【点评】本题着重考查空间思维能力和逻辑推理能力，这类题目是历年高考必考题目，中档难度. 引入空 间向量后，可以用代数的方法研究几何图形，降低了传统几何解法添加辅助线的难度，夹角和距离均可利 用公式求值，但建系是关键，考生需要好好掌握代数解法. （2020）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是 p，电流能通过T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电 流的概率为 0.999. （）求p； （）求电流能在M与N之间通过的概率. 【命题意图】本题考查相互独立事件的概率，背景新颖，题意明确. 【参考答案】 12 （2121）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 已知函数 32 ( )331f xxaxx. （）设2a ，求( )f x的单调区间； （）设( )f x在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围. 【命题意图】本题考查利用导数研究三次函数的图象和性质，单调区间的求法，取极值的充要条件. 【参考答案】 解：解： 13 （2222）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 已知斜率为 1 的直线l与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于B、D 两点，且BD的中点为 (1,3)M. （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，=17DFBF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切. 14 【命题意图】本题综合考查了双曲线的几何性质，三点共线问题以及直线和双曲线的位置关系. 【参考答案】 解：解： （）由题设知，l的方程为：2yx， 代入 C 的方程，并化简，得 2222222 ()440baxa xaa b， 设 1122 ( ,)(,)B x yD xy、， 则 2222 1212 2222 44 , aaa b xxx x baba ， 由(1,3)M为BD的中点知 12 1 2 xx ，故 2 22 14 1 2 a ba ， 即 22 3ba， 故 22 2caba， 所以C的离心率2 c e a . （）由、知，C的方程为： 222 33xya， 2 1212 43 ( ,0),(2 ,0),2,0 2 a A aFaxxxx ， 故不妨设 12 ,xa xa ， 22222 11111 = (2 )(2 )332BFxayxaxaax， 22222 22222 = (2 )(2 )332FDxayxaxaxa， 15 22 121212 (2 )(2)=42 ()548BF FDaxxax xa xxaaaA. 又 17BF FD A， 故 2 54817aa， 解得1a ，或 9 5 a （舍去）， 故 2 121212 = 22()46BDxxxxx xA， 连结MA，则由(1,0)A，(1,3)M知3MA ，从而MAMBMD,且MAx轴，因此以M为圆心， MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切. 【点评】本题着重考查直线和双曲线的位置关系，涉及交点，弦长，两点间距离问题，利用韦达定理转化， 体现了数形结合思想和化归转化思想，要求考生有较强的逻辑推理能力和计算能力.常常与向量，不等式， 方程等相结合，综合难度较大，具有较好的区分度.考生平时应强化分析和运算能力的训练，提高综合解 题能力. 16 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考文科数学试题参考答案和评分参考 一、选择题一、选择题 （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）C （7）A （8）D （9）B （10）B （11）D （12）B 二、填空题二、填空题 （13） 2 5 5 （14）84 （15）2 （16）3 三、解答题三、解答题 （1717）解：）解： 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得 124 cos,sin 135 BADC， 从而 sinsin()BADADCB =sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 . 由正弦定理得 sinsin ADBD BBAD , 所以 sin sin BDB AD BAD 5 33 13 =25 33 65 . （1818）解：）解： （）设公比为q，则 1 1 n n aa q .由已知有 11 11 234 111 234 111 11 2, 111 64. aa q aa q a qa qa q a qa qa q 17 的平面角. 2 2 111111 1 11 1 A BA CA B 22 2 B H= A C3 . 18 22 1111 3 HC = B C -B H = 3 . 22 11 1 1 2 3 AC2( 3)7, 3 7 AAHC HK AC . 1 1 tan14 B H B KH HK . 所以二面角 111 A -AC -B的大小为arctan 14. 解法二：解法二： （）以 B 为坐标原点，射线 BA 为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 设 AB=2，则 A（2,0,0,）， 1 B (0,2,0)，D（0,1,0）， 1 3 E(,0) 2 2 ， 又设 C（1,0,c）,则 1 1 1 DE0B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c 2 2 ，. 于是 1 DE B A=0,DE DC=0 AA. 故