普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷I解析）

- 1 - 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学理（全国卷 I I，解析版），解析版） 第第卷考生注意：卷考生注意：1 1答题前，考生在答题卡上务必用答题前，考生在答题卡上务必用 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将毫米黑色墨水签字笔将 自己的姓名、准考证号、填写清楚自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓 名和科目名和科目2 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3 3本卷共本卷共 1212 小题，小题， 每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式AB， 如果事件相互独立，()( )( )P ABP AP B 2 4SRAB， 那么其中表示球的半径R()( )( )P A BP A P BAA 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选一、选 3 4 3 VRnkR 择题择题 (1)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集 U=AB，则集合中的() u AB I 元素共有（A） （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 解：，故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8 U ABCAB 律：律：()()() UUU CABC AC B （2）已知=2+i,则复数 z=（B ） 1i Z （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：解： 故选故选 B B。(1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集为（ D ） 1 1 X X （A） x (B) 011xx x 01xx （C） (D)10 xx 0 x x 解：验 x=-1 即可。 (4)设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心 22 22 1 xy ab 率等于( C ) - 2 - （A） （B）2 （C） （D）356 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 00 (,)P xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; 112 536 225CCC (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有 345 种选法.选 D 211 562 120CCC （6）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( D )abcab acbc （A） （B） （C） (D)222112 解: 是单位向量, ,a b c 2 ()acbca bab cc AA 故选| | | 12cos,121 |abcab c A D. （7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在 111 ABCABC 1 A 底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的ABCBCAB 1 CC 角的余弦值为（ D ） （A） （B） （C） (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 由三角余弦定理，易知.故选 D 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB （8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为cos 2yx3 4 3 ，0| （A） （A） （B） （C） (D) 6 4 3 2 B C B C A1 1 1 A D - 3 - 解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故选 A 4 2 32 k 13 () 6 kkZ min | 6 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为( B )yln()xa (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点，则,又 00 (,)P xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案选 B 000 10,12xayxa （10）已知二面角 -l- 为 ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为 ，60o3 Q 到 的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值2 3 为（ C ） (A) (B)2 (C) (D)42 3 解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于 ，连PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则 ，2 3,3AQBP2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 C。0AP AP点与点 （11）函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则( D )( )f x(1)f x(1)f x (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 数 解: 与都是奇函数，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T 数.，即是奇函数。故选(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x D - 4 - 12.已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点， 2 2 :1 2 x CyFlAlAFCB 若,则=3FAFB |AF (A). (B). 2 (C). (D). 323 解:过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,故BMll3FAFB .又由椭圆的第二定义,得.故选 A 2 | 3 BM 2 22 | 233 BF |2AF 第第 IIII 卷卷 二、填空题：二、填空题： 13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于 。 10 xy 73 x y 37 x y 解: 373 101010 ()2240CCC 14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。 n an n S 9 72S 249 aaa 解: 是等差数列,由,得 n a 9 72S 59 9,Sa 5 8a . 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa 15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, 111 ABCABC 1 2ABACAA ，则此球的表面积等于 。120BAC 解:在中,可得,由正弦定理,可得外ABC2ABAC120BAC2 3BC ABC 接圆半径 r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径， O ORT OBO5R 故此球的表面积为. 2 420R 16. 若，则函数的最大值为 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令,tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 - 5 - 17（本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效） 在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知，且ABCabc 22 2acb 求 bsincos3cossin,ACAC 分析分析: :此题事实上比较简单此题事实上比较简单, ,但考生反应不知从何入手但考生反应不知从何入手. .对已知条件对已知条件(1)(1)左侧左侧 22 2acb 是二次的右侧是一次的是二次的右侧是一次的, ,学生总感觉用余弦定理不好处理学生总感觉用余弦定理不好处理, ,而对已知条件而对已知条件(2)(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式过多的关注两角和与差的正弦公式, ,甚至有的学生还想用现在已甚至有的学生还想用现在已sincos3cossin,ACAC 经不再考的积化和差经不再考的积化和差, ,导致找不到突破口而失分导致找不到突破口而失分. . 解法一：在解法一：在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有: :ABCsincos3cossin,ACAC 化简并整理得：化简并整理得：. .又由已知又由已知 222222 3, 22 abcbca ac abbc AA 222 2()acb . .解得解得. . 22 2acb 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。 222 2cosacbbcA 22 2acb0b 所以所以2 cos2bcA 又又，sincos3cossinACACsincoscossin4cossinACACAC ，即，即sin()4cossinACACsin4cossinBAC 由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsin b BC c 4 cosbcA 由由，解得解得。4b 评析评析: :从从 0808 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查. .在备考中应注意总结、提在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力. .另外提醒：两纲中明确不再另外提醒：两纲中明确不再 考的知识和方法了解就行，不必强化训练。考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， SABCDABCDSD ABCD ，点 M 在侧棱上，=602AD 2DCSDSCABM （I）证明：M 在侧棱的中点SC （II）求二面角的大小。SAMB （I）解法一：作交于 N，作交于 E，MNSDCDNEABAB - 6 - 连 ME、NB，则面，,MN ABCDMEAB2NEAD 设，则,MNxNCEBx 在中，。RT MEB60MBE3MEx 在中由RT MNE 222 MENEMN 22 32xx 解得，从而 M 为侧棱的中点 M. 1x 1 2 MNSDSC 解法二:过作的平行线.MCD 解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答案. （II）分析一分析一: :利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了 三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定 理的方法求作二面角。 过作交于,作交于MMJCDSDJSHAJAJ ,作交于,则,面HHKAMAMKJMCDJM ,面面,面即为所SADSADMBASH AMBSKH 求二面角的补角. 分析二分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点ABMBBFAMAM ，则点为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证，则即为所求二FFGFAMGFB 面角. 分析三分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可。 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。 - 7 - 分析分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很 可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 20 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 在数列中， n a 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （I）设，求数列的通项公式 n n a b n n b （II）求数列的前项和 n an n S 分析分析：（I）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () n b 1 1 2 2 n n b * nN （II）由（I）知, 1 2 2 n n n an = n S 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而,又是一个典型的错位相减法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n S(1)n n 1 2 4 2n n 评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求 前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和 一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人 在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 交于、四个点。ABCD （I）求得取值范围；r （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标ABCDACBDP 分析：分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr - 8 - 程联立，消去，整理得 （） 2 y 22 7160 xxr 抛物线与圆相交于、四个点的 2 :E yx 222 :(4)(0)MxyrrABCD 充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结 15 (,4) 2 r 合及函数和方程的思想来处理也可以 （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入 的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。 11 ( ,)A xx 11 ( ,)B xx 22 (,)C xx 22 (,)D xx 则由（I）根据韦达定理有， 2 1212 7,16xxx xr 15 (,4) 2 r 则 21122112 1 2 |() |() 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令，则 下面求的最大值。 2 16rt 22 (72 ) (72 )Stt 2 S 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有 时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值 类似。 22 1 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 Sttttt 33 1 7272144128 ()()