普通高等学校招生全国统一考试数学文湖南卷解析

2010年普通高等学校招生全国统考数学文题(湖南卷，解析版)【名士简评】湖南卷作为新课标改革以来第一年的高考，着重于高中数学课程最基础最核心的内容，牢牢围绕“双基”，着重考察中学数学的核心内容和基本能力，特别是全面考察高中数学的主干知识。 整体试卷稳定求变化，整体难易度和计算量与2009年试卷相比略有下降。 试卷结构稳定，考点分布合理、简洁，问题稳步体现了新的课题数学命题理念。 新增知识的调查比较简单。 问题具有新的意义，知识理解度、知识和能力的综合运用要求高，创新问题设置得很巧妙。 重视培养思维能力和应用意识，将较多实际问题融入试卷一、选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 每个小题目给出的4个选项中，满足主题要求的只有一个1 .多个相等A. B. C. D2 .下列命题中的假命题是：A. B .C. D2 .答案c【命题意图】本问题考察了包含存在测量词和全名测量词的命题的真伪判定。如果x=1，则对于lgx=0，即a为正确的x=，如果tanx=1，即b为正确的x0，则对于x30不成立，即任何c错误的xR，由于2x0，即d是正确的，因此选择c3 .某商品的销售量与销售价格(要素/要素)呈负相关时，其回归方程式可能如下A. B .C. D3 .答案a【命题意图】本问题考察了线性回归方程及其实用问题。【解析】某商品的销售量y与销售价格x有负相关时排除b0、选择项b和d，通过特殊值x=2可以排除选择项c，因此选择a4 .极坐标方程式和参数方程式表示图表分别为a .直线、直线b .直线、圆c .圆、圆d .圆、直线5 .如果从抛物线上的点p到轴的距离为4，则从点p到该抛物线焦点的距离为A. 4 B. 6 C. 8 D. 12五.答案b【命题意图】本问题考察了抛物线的定义及其应用。【解析】若从抛物线y2=8x知道p=4，并且从其上端的点p到y轴的距离为4，则从点p到基准线x=-2的距离为6，从抛物线的定义到点p的焦点的距离也为6，因此选择b6 .与不满足零向量|、的角度是A. B. C. D6 .答案c【命题意图】本问题考察了平面向量的数积、角度等相关概念。【解析】|a|=|b|=m，设a和b角度为，则(2ab)b=2ab2=2m2cosm2=0，cos=-，=120，因此，c；7 .在7.ABC中，与角度a、b、c成对的边的长度为C=120，c=A. B .不能确定与C. D .的大小关系8 .与函数处于相同正交坐标系的图像8 .答案d【命题意图】本问题考察二次函数和对数函数的图像问题，重要的是分类讨论和探究性问题的分析和应用。对于函数y=ax2 bx和函数y=x| 1的情况下，函数y=x在定义域是增加函数，对应的图像可能是选择项a和b，但是y=ax(x )，即二次函数除原点以外的另一个与x轴的交点应该在|1以外，所以选择项a和b都不满足函数y=x是定义域内减法函数，对应的图像可以是选择项c和d，但是y=ax(x )，即二次函数与除原点以外的另一个x轴的交点应该在|1以外，不满足选择项c； 选择d二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，35分，将答案填入答案卡中对应题名后的横线9 .已知集合B=2，2，3，b= 2，m，4，b= 2，3 ，m=9 .答案3【命题意图】本问题考察了集合的演算和参数的求解【解析】因为a= 1，2，3 、B=2，m，4、ab= 2，3 、3B、m=3，所以填充3已知某种材料的最佳添加量在110g到210g之间。 用0.618法安排实验，首次试验的添加量为g即可。10 .答案161.8或138.2【命题意图】本问题考察了试验方法的分析和应用。图解说明根据0.618法的特征，当最佳用户容量从100g到200g之间时，第一次尝试的用户容量应当是100 0.618100=161.8或200-0.618100=138.2并且应当填充161.8或138.211 .在区间内马上取数的话 0，1 的概率是11 .答案【命题意图】本问题考察了几何概型的概率解。【解析】区间-1，2 的长度为3， 0，1 的长度为1，因此求出的概率为P=12 .图1是求实数绝对值的算法框图，可记入判断框。12 .答案是“x0”还是“x0”？ ”或“x0”或“x0”？ (这些答案都是可能的，只需填写一个)【命题意图】本问题考察了算法程序框的识别和应用。【解析】算法的框图求实数x的绝对值，所以“是”时执行“输出x”，“否”时执行“输出-x”，判定框中能够填写的是“x0”或“x0”还是“x0”或“x0”？ 要填“x0”或“x0”吗？ 或者“x0”或者“x0”？ 灬13 .图2中的三个直角三角形是体积为20cm2的几何体的三面图，假设h=14 .不同点的坐标分别为，线段PQ的垂直二等分线的斜率为圆关于直线对称的圆的方程式14 .答案-1，x2 (y-1)2=1【命题意图】本问题考察了2点间的距离式、直线方程式、倾斜式和2直线的位置关系、圆的方程式和性质、对称问题等。根据条件将线段PQ的垂直二等分线l的方程式设为=、整理时为x y-3=0、y=-x 3，因此，直线l的倾斜度若将关于k=-1圆(x-2)2 (y-3)2=1的圆心(2，3 )直线l:x y-3=0的对称点设为(0，1 )，则对称的圆的方程式为x2 (y-1)2=1，因此，- 1，315 .如果规定的子集是e的第k个子集(1)是e的第_个子集(2)E的第211个子集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _15 .答案5 a1，a2，a5，a7，a8【命题意图】本题考察了集合的创新应用问题，重要的是集合中相关概念问题和推理分析能力的应用，以及相应的综合思考。根据标准，a1，a3或e的子集的比特数为k=1 4=5，并且按照标准，=211=12864161=，即，对应的子集为a1，a2，a5，a7，a8，因此e的第211子集填充5三、答题：本大题共6小题，共75分，答案应写文字说明、说明过程或演算程序16.(本小题为12分满分)已知函数(I )求函数的最小正周期；(ii )求函数的最大值和最大值时的集合16 .【命题意图】本问题考察了三角函数的恒等变换式、三角函数的图像和性质等，重要的是运算能力的考察及其应用。 在(1)中，首先对三角函数进行恒等变换，利用变换后的三角函数的性质来确定最小正周期，(2)中，直接利用(1)的变换式，求出函数的最大值以及最大值时的x的集合。【参考回答】解： (I )因为函数的最小正周期为(ii )由(I )可知，为了即时取最大值，函数取最大值时集合【点评】求解三角函数值问题常通过等角三角函数的基本关系式、三角函数的恒等变换、解析式的简化与变形、对应函数图像及其对应性质的综合分析与考察，是高考常见问题之一，也是面变换较多的问题类型之一。17.(本小题满分12分)为了研究某个课题，采用层次抽样法，从三所高中a、b、c的相关人员中抽出一些人构成研究组，相关数据如下表(单位：人)所示高中有关人员人数抽取人数a.a18乙组联赛362c.c54(I )寻求(ii )从高中b、c抽取的人中选择2人进行主题发言，求出这2人从高中c来的概率17 .【命题意图】在本问题中，考察了阶层抽样的特征和运算，以及古典概型的概率计算问题。 重要的是分析和处理表中的数据。 关于(1)，直接利用层次抽样的特征确立相关的比例式，对于求出对应的参数值的(2)，根据(1)中计算出的抽出人数，写出相应的基本事件数，使用古典概型的概率式求出对应的概率。是被选中的两人来自高中c的概率通过实际应用问题，主要考察统计和古典概率的求法。 解决这种实际应用问题，要注意统计数据分析和基本事件分析。 重要的是统计和古典概率的计算方法，统计和对应的抽样方法的应用等有关。 这些是重点，但通常并不难。 要认真把握。18.(本小题为12分满分)如图3所示，在长方体中，AB=AD=1、AA1=2、m是棱CC1中点.(I )求出异面直线A1M与C1D1所成角的正切值(ii )证明：平面ABM平面A1B1M1图18 (a )(c )是表示本问题的立体几何的中点、线、面间的位置关系的证明问题和角度的解决问题，对于(2)，进行空间几何学的解析和判断，垂直于线面判断面垂直问题。【参考回答】解： (I )如图所示，是与异面直线所成的角因为是平面然后，所以即，异形面与直线所成的角的正切值(ii )平面、平面、得.(I )说，又因此；另外，如下得到平面。 而且，因为是平面，所以是平面“点评”空间几何问题通常与点、线、面的位置关系的判断和证明、点、线、面之间的角度和长度关系的解决相结合。 一般而言，可以将辅助线的结构中关于点、线、平面的对应概念、性质、定理的确定和解决的问题相结合，以空间向量的知识达到这些目的。 特别是对于图形的折叠和变换，必须分析变换前后的对应要素之间的关系。19.(本小题为13分满分)为考察冰川融化情况，某科学试验队在距离某冰川山8km的a、b两点分别建立了调查基地。 冰川面为平面形状，通过a、b两点的直线为x轴，线段AB的垂直二等分线为y轴，确立了平面直角坐标系(图4 )。 调查范围是到a、b两点的距离之和不超过10km的区域。(I )求出考察区域边界曲线的方程式；(ii )如图4所示，线段为冰川的部分界线(不考虑其他界线)的话，冰川融化时，界线沿着与其垂直的方向与考察区域平行移动，初年移动0.2km，之后每年移动的距离为去年的2倍。 问：过了多长时间，点a正好在冰川边界线上？本问题考察了实用问题、椭圆的标准方程和几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程、从点到直线的距离式、等差数列的相关问题等。 关于(1)，与主题的记述状况直接相关，利用椭圆的定义，对于求解相应椭圆的标准方程式的(2)，首先求出相应的直线方程式，利用从点到直线的距离式和等差数列的和来决定相关的参数值。【参考回答】解： (I )如果取边界曲线上点p的坐标，则可知点p位于以a、b为焦点的长轴长的椭圆上.因此，考察区域边界曲线的(如图的)方程(ii )点易懂的线性方程式如下： 因此，从点a到直线的距离如下所示是经过年，假设点a正好位于冰川边界线上，则可以利用等比数列的合计式是五年后，发现点a位于冰川边界线上圆锥曲线是历年高考常见的主题之一，近年高考解答难度逐渐降低。 通过分析几何学本身的特点，综合相应的数学知识，如不等式、数列、函数、向量、导数等，综合考察各知识点之间的综合应用也是调查学生综合能力的一大考点。 在这里，通过交叉实际问题，统合相关知识，难易度变小，但考察的知识点变多。20.(本小题为13分满分)下表列出了系列表中有一行，第一行的数量是1，3，5，2n-1，从第二行开始，各行的数量分别等于其肩的数量之和。(I )写表4，验证表4的各行的平均数从上到下的顺序构成等比数列，将结论推广到表n(n3 ) (不要求证明)。(ii )各数表的最后一行只有一个数字，它们构成数列1、4、12，记为该数列合计：20 .【命题意图】本问题考察了数学表的识别和归纳推理、等比数列的概念和性质、数列的合计等，重要的是阅读能力、归纳推理能力、运算能力、化归思维等的应用。 关于(1)，根据数表的法则直接书写，通过求平均来确定该数列的特征，对于模拟推进的(2)，根据(1)的法则确定bn的通项，使用与其对应的式子进行变形，使用裂项法解决对应的数列的合计问题。【参考回答】解： ()表4为1 3 5 74 8 1212 2032其第1、2、3、4行数的平均值分别为4、8、16、32，它们构成第1项为4、公比为2的等比数列把这个结论推广到表中，表中各行的数量的平均按照从上到下的顺序构成第一项，公比是