电磁场数学方法-复变函数论

电磁场数学方法,任课教师：陈其科,联系方式：E_mail：qkchen电话：61830311总学时:80课时教材：梁昆淼，数学物理方程（第四版）成绩构成（暂定）：平时20%+半期考试20%+期末考试60%,第一篇复变函数论,第一篇复变函数论,复变函数论是数学中一个基本的分支学科研究对象：变量为复数的函数主要任务：研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。应用领域：求解物理学上复杂场分布问题,复数：实数和虚数的总称。,课程意义,第一篇复变函数论,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数论发展历程,第一篇复变函数论,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和电磁学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,复变函数论发展历程,第一篇复变函数论,复变函数的路径积分方法,课程核心,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,学习方法,1.2复变函数,1.3复变函数的导数,1.4解析函数,1.1复数与复数运算,1.5单值函数与多值函数,第一章复变函数,第一篇复变函数论,对于任意两个实数x、y，称为复数。,其中：,x称为复数的实部，y称为复数的虚部，,称为虚单位。,（一）复数的概念,1.1复数与复数运算,1、复数定义,全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。在复数域中，复数没有大小的概念。,注：,第一章复变函数,2、复数的模与幅角,复数的模:,复数的辐角:,复数几何表示,复数几何意义：实部与虚部可与平面坐标点建立一一对应关系。,复数的三角表示：,1.1复数与复数运算,（一）复数的概念,1）当z=0时，幅角无意义；,其中，满足,注：,关于幅角的几点说明：,2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角,或,的幅角称为主幅角，记做：,1.1复数与复数运算,（一）复数的概念,3、复数的指数表示,欧拉公式：,则：,指数表示,3）,2）,4）,1.1复数与复数运算,注：,1）,（一）复数的概念,共轭复数：,4、复数的共轭,1.1复数与复数运算,注：,（一）复数的概念,（二）复数的运算,1、复数的加减法,1）,2）,1.1复数与复数运算,注：,2、复数的乘法,利用复数指数形式进行乘法运算比较简单,指数式：,1.1复数与复数运算,（二）复数的运算,注：,3、复数的除法,指数式：,注：,利用复数指数形式进行除法运算比较简单,1.1复数与复数运算,（二）复数的运算,1）,2）,3）,1.1复数与复数运算,（二）复数的运算,注：,4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。,例：若，求w。,1.1复数与复数运算,解：,故的主幅角有n个，即对应有n个值：,它们在以坐标原点为中心，半径为的圆周上均匀分布多值函数。,例：讨论式子在复平面上的意义,解：,为,圆上各点,令,1.1复数与复数运算,例：求方程sinz=2,解：,设,1.1复数与复数运算,或,或,（续上）,1.1复数与复数运算,复习,实变函数中关于函数的定义：,1.2复变函数,设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：,其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的定义域。,（一）区域的概念,由,确定的平面点集，称为定点z0的邻域,邻域：,内点：,若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点,外点：,若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点,1、几个定义,1.2复变函数,边界点:,若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。,内点,边界点,外点,（一）区域的概念,1.2复变函数,2、区域,A）全由内点组成,B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。,复变函数的宗量z在复平面上的满足下述条件的定义域（点集），称为区域：,闭区域：,区域B连同它的边界称为闭区域，表示为,表示以原点为圆心半径为1的闭区域,（一）区域的概念,1.2复变函数,如：,3、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,（一）区域的概念,1.2复变函数,若复数平面中存在的点集E，对于E的每一个点（复数），均按照某种规律，有一个或多个复数值与之对应，则称为的复变函数。,1.2复变函数,（二）复变函数的定义,z称为w的宗量，E称为函数定义域,其中：,记做：,二元实函数,（三）复变函数例,几个常见初等函数定义式：,1.2复变函数,复变函数的周期特性：,可大于1。,（三）复变函数例,1.2复变函数,（一）复变函数的极限与连续性,设w=f(z)在z0点的某邻域有定义，对于任意0，,若存在0，使得时，有,则称w0为zz0时极限，计为,1)z在全平面，zz0的方式是任意的（比实变函数要求更高）,1、复变函数的极限,2)w0是复数.,3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的,注：,1.3复变函数的导数,若在处连续，则有,（一）复变函数的极限与连续性,若时，有,，称f(z)在z0点连续,2、复变函数的连续性,若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在区域D内连续,1.3复变函数的导数,（二）导数定义与求导,设w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数，如果极限,存在，并且与z0的方式无关，则称函数w=f(z)在点z处可导，该极限值称为函数f(z)在点z处的导数，即,1、定义,1.3复变函数的导数,（二）导数定义与求导,1.3复变函数的导数,实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。,2、复变函数的求导法则,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,实变函数求导：,x沿实数轴趋近0,复变函数求导：,z沿实平面任一曲线趋近0,复变函数可导远比实变函数可导要求严格。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,1、柯西-黎曼条件（C-R条件）必要条件,若函数f(z)在点z可导，则z沿实轴(x轴)和虚轴(y轴)趋近于0应相等，即：,=,=,沿x轴：,沿y轴：,柯西-黎曼条件（C-R条件）,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,柯西-黎曼条件不是复变函数可导的充分条件。,例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导。,证：,满足C.R.条件,而令，则,随而变，极限不存在。,在z=0处不可导,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,2、复变函数可导的充要条件,函数f(z)在点z可导的充要条件是：1）在点z处存在且连续；2）满足柯西-黎曼条件。,证明：,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,2、复变函数可导的充要条件(续）,由C-R条件,该极限为有限值且与z-0的方式无关可导。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,3、复变函数导数的计算公式,1）可导函数的实部与虚部有密切的联系。当函数可导时，仅由其实部或虚部即可求得导数。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,2）利用该条件可以判断函数是否可导。,注：,3）复变函数导数求解步骤：,I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性II)验证C-R条件III)由实部或虚部求导数：,3、复变函数导数的计算公式（续）,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,4、极坐标系中的柯西-黎曼条件,复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯西-黎曼条件也有应用价值。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,3、极坐标系中的柯西-黎曼条件（续）,例：判定函数平面上何处可导？,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,解：,由柯西-黎曼条件：,可知：在曲线上函数可导。,（一）解析函数及其性质,1.4解析函数,1、解析函数的定义,若w=f(z)在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在点z0解析,若w=f(z)是在区域B上任意点可导，称f(z)在区域B解析,1）在某个区域上，函数可导与解析是等价的。,注：,2）函数f(z)在区域B内解析的充要条件是：a）在区域B内可导且连续；b）满足柯西-黎曼条件。,3）某区域内解析函数在该区域必有任意阶导数,例：判定函数在z平面上何处解析？,（三）复变函数可导的充要条件,1.3复变函数的导数,解：,函数在曲线上可导。,在z平面内处处不解析。,例：证明：f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f(z)=f(z)。,证：,在复平面上均一阶偏导连续且满足C.R.条件解析,（一）解析函数及其性质,1.4解析函数,定义1：在某区域上有连续二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。,（一）解析函数及其性质,1.4解析函数,2、解析函数的性质,由C.R.条件,前一式对x求导，后式对y求导，相加,同理,共轭调和函数,定义2：若两调和函数分别为同一复变函数的实部和虚部，则称为共轭调和函数。,（一）解析函数及其性质,1.4解析函数,性质一：若函数,在区域B上解析，则,为区域B上的共轭调和函数。,2、解析函数的性质（续）,性质二：若函数,在区域B上解析，则,是相互正交的两组曲线.,证：,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,若只给定一个二元调和函数u(x,y)或v(x,y)，可利用C.R.条件，求出其共轭调和函数v(x,y)或u(x,y)，确定解析函数,具体方法：,设已知u(x,y)，求v(x,y),全微分式,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,求解方法：,方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）,方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法,例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。,解：,故u为调和函数,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,方法一、曲线积分法,例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。,解：,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,方法二、凑全微分显式法,例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。,解：,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,方法三、不定积分法,对第二式对y积分，视x为参数，则有：,例：已知解析函数f(z)实部,求v(x,y),解：,化为极坐标求解,（二）解析函数的确定,1.4解析函数,1.5单值函数与多值函数,单值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与一个复数值对应，单值复变函数。,多值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与多个复数值对应，单值复变函数。,1.5单值函数与多值函数,（一）初等单值函数,1、幂函数,当n是正整数或0在复平面上解析。,2、多项式函数,在复平面上解析.,3、有理函数,在复平面上除使Q(z)=0的点外解析,1.5单值函数与多值函数,（一）初等单值函数,4、指数函数,()ez0,因为|ez|=|exeiy|=ex0.,()对于实数z=x(y=0)来说,我们定义与通常实指数函数的定义是一致的.,()ez1ez2=ez1+z2.,()w=ez在复平面上解析,且,(),由欧拉公式:,由此可得正弦函数、余弦函数:,（一）初等单值函数,1.5单值函数与多值函数,5、正、余弦函数,有:,（一）初等单值函数,1.5单值函数与多值函数,性质1:在复平面上解析,且,性质2：sinz是奇函数,cosz是偶函数,它们遵从三角公式,性质3：sinz及cosz以为周期.,正弦函数、余弦函数性质：,性质4：sinz=0必须且只须,cosz=0必须且只须,（一）初等单值函数,1.5单值函数与多值函数,正弦函数、余弦函数性质（续）：,性质5：在复数范围内不再能断定,通过sinz,cosz我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割.,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,根式函数、对数函数等均为多值函数。,1、根式函数,即：,多值函数,造成根式函数多值的原因：,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,考察z的连续变化：,(1)z从给定点z0出发，对应的值w从w0出发；z环绕原点(z=0)转一圈回到原处，辐角变为0+2，而w由w0变为w1，即w从一个单值分支变到另一个单值分支；继续沿逆时针方向绕z=0转一圈，z再次回到原处，辐角变为0+4，而w由w1变为w0。如路径未包围原点(z=0),则w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支,z的辐角的多值性，即,2、单值分支,多值函数的每个值称为单值分支。如的两个单值分支分别为：,2)所有分支值域合起来覆盖整个w平面。,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,1)单值分支间值域互不交迭。,注：,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,3、支点,支点特性:当z绕任一包围它的路径一周并回到原处时,函数值不复原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质的点称为多值函数的支点。,显然：z=0，z=均为的支点。,若z绕支点n周后，函数值w复原，则称该支点为n-1阶支点。,注：,例：的割缝：其支点为z=0，z=,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,4、支割线,在两个支点之间作割缝，并规定：z在连续变化的过程中不能跨越割缝，该割缝所在位置称为割线。,从z=0出发，沿x轴正方向作一割缝至z=。此时，z无论在平面上怎样变化都不可能绕z=0或z=转一圈，则辐角的变化范围在2之内，由此可知，w的值必在一个单值分支之内。,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,5、黎曼面,中，z的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上运行，即将z平面分为两叶平面。,为了将各个分支作为整体来研究：(1)第一页的下岸与第二页的上岸=2粘合在一起;(2)第二页的下岸与第一页的上岸=0粘合在一起。形成的面称为黎曼面。,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,1）对数函数Lnz,定义：若，则称为的对数函数，记为,注：时，未定义。,令:,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,2）一般幂函数,定义：,：当时，为幂函数单值解析函数,：当时，为,：其他情况时：,时有意义。,由于具有多值性，故函数也具有多值性。,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,3）一般指数函数,定义：,由于具有多值性，故函数也具有多值性。,（二）初等多值函数,1.5单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,例：求,解：,例：求,解：,2.2柯西定理,2.3不定积分,2.1复变函数的积分,第二章复变函数的积分,第一篇复变函数论,2.4柯西公式,设：(1)连续复变函数,（一）复变函数积分定义,2.1复变函数的积分,(2)C为区域D内一条AB的有向光滑路径。,(3)将C划任意分成n个小段，端点为z0，z1，,zn。,(4)在每一小段zk-1，zk上，任取k，做乘积。,(5)做和式。,若：无论如何分割C，极限,存在，且与k选取无关，则称此极限为沿C从A到B的路积分,（二）复变函数积分的计算公式,2.1复变函数的积分,复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分。因此实变函数线积分的很多性质可以应用到复变函数中。,函数积分表示为：,由于，则,例：计算积分,分别沿路径(1)和(2),如图,解：,路径(1),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关,路径(2),2.1复变函数的积分,2.2柯西定理,柯西定理揭示了复变函数的积分值与积分路径的关系。,（一）单通区域柯西定理,若函数在闭单连通区域上解析，为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为边界曲线），则有,格林公式：,由柯西-黎曼条件：,单通区域柯西定理,2.2柯西定理,（一）单通区域柯西定理,若函数在单连通区域上解析，在闭单通区域上连续，为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为边界曲线），则有,单通区域柯西定理推论,推论一：,推论二：,单连通区域中解析函数f(z)的积分值与路径无关。,证明：,若是闭复通区域上的单值函数，则,2.2柯西定理,（二）复通区域柯西定理,将单连通区域中的奇点排除后，即形成复通区域。,复通区域柯西定理,式中：l为区域外境界线，li为区域内境界线。,境界线正方向的规定：观察者正方向前进时，区域总在观察者左边。,外境界线正向：逆时针，内境界线正向：顺时针,2.2柯西定理,（二）复通区域柯西定理（续）,证明：,将复通区域做割线连接内外境界线，则复通区域变单通区域。由单通区域柯西定理，得：,:逆时针方向积分,关于柯西定理的说明：,1、闭单通区域上解析函数沿境界线积分为0；2、闭复通区域上解析函数沿所有内外境界线正方向积分之和为0；3、闭复通区域解析函数沿外境界线逆时针方向积分,等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。4、在闭单通或闭复通区域上的解析函数，只要起点和终点固定，积分结果与积分路径无关。,2.2柯西定理,由柯西定理：单连通区域中，解析函数f(z)的路径积分值与路经无关，只与起点、终点有关。,故：固定起点z0，则不定积分,可以证明：,2.3不定积分,定义了一单值函数，且F(z)是f(z)的原函数，即：,（一）复变函数不定积分定义,路积分的值等于原函数改变量。,（重要例题）：计算积分,（n为整数）,解：,nN时有,式中p为任意正整数。,柯西收敛判据,3.1复数项级数,（一）复数项级数的收敛与柯西判据,3、绝对收敛,若复数项级数各项的模组成的级数,收敛，则称级数绝对收敛。,1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。,注：,2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。,复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：,3.1复数项级数,（二）复变函数项级数,由柯西判据，知复变项级数在区域B中收敛的充要条件：,对于任一小的正数，必存在N(z)使得nN(z)时有,式中p为任意正整数。,若N与z无关，则称该复变函数项级数在B内一致收敛。,注：,3.1复数项级数,（二）复变函数项级数,复变函数项级数相关性质：,1、若复变函数项级数在区域B（或路径l)上一致收敛，且每一项都在区域B(或路径l）上连续，则级数和也是区域B(路径l）内连续函数。,2、在区域B内，若复变函数项级数的各项的模,而常数项级数收敛，则称在区域B上绝对且一致收敛。,3.2幂级数,（一）幂级数定义,幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。,称为以z0为中心的幂级数。其中，各系数项均为复常数。,3.2幂级数,（二）幂级数的收敛性判别达朗贝尔判别法,1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）,由正项级数的比值判定法可知，若模级数,考察幂级数各项的模组成的级数,则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数,绝对收敛。,3.2幂级数,2、收敛圆,由前可知，幂级数绝对收敛条件为：,引入，则幂级数绝对收敛条件变为：,收敛圆：以z0圆心，半径为R的圆。R称为收敛半径。,幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。圆外仍可能有区域是收敛的。,（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据,若，则幂级数发散；,若，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；,3.2幂级数,3、根值判别法：,（三）幂级数的收敛性判别根值判别法,由此可得收敛半径的另外一种定义：,例：求幂级数的收敛圆（t为复变量）。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以t=0为圆心，半径为1的圆。,3.2幂级数,例：求幂级数的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为1的圆。,3.2幂级数,另解：,则收敛半径:,例：求幂级数的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为2的圆。,3.2幂级数,3.2幂级数,（四）幂级数的积分表示,将上式沿收敛圆取路径积分，并利用柯西公式，可得：,在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分在收敛圆内幂级数和为解析函数。,3.3泰勒级数,任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。,问题：解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为复变函数项的泰勒级数呢？,可以！,3.3泰勒级数展开,泰勒级数展开定理：,设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意点，可展开为,其中,即：,泰勒级数,3.3泰勒级数展开,证明：,设在收敛圆内解析，则由柯西积分公式,而,由于为积分路径上点，而z为积分路径内点，故有,等比数列,3.3泰勒级数展开,证明(续)：,3.3泰勒级数展开,例（重要）：在z0=0的邻域上将展开为泰勒级数。,解：,（展开时能直接求导就求导）,3.3泰勒级数展开,例（重要）：在z0=0的邻域上将展开。,解：,3.4解析延拓,（一）解析延拓概念,考察如下两个函数,在区域等同,对于某个区域b上的解析函数f(z)，如果能找到另一个函数F(z)，它在含有区域b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等同于f(z)，则这个过程就叫解析延拓。,解析延拓：,解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。,3.4解析延拓,（二）解析延拓唯一性,可以证明：函数F1(z)和F2(z)在区域B上解析，若在B的某子区域b上有F1(z)F2(z)，则在整个区域B上必有F1(z)F2(z)。,同一解析函数的解析延拓是唯一的。,3.5洛朗级数展开,（一）双边幂级数,当所研究的圆域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开洛朗级数展开。,考察双边幂级数：,收敛半径为R1，在圆z-z0=R1内收敛,令,收敛半径记为1/R2，即在圆z-z0=R2外收敛。,3.5洛朗级数展开,若R2R1，则双边幂级数,在环域R2z-z0R1内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。,环域R2z-z0R1称为该双边幂级数的收敛环。,（一）双边幂级数（续）,3.5洛朗级数展开,（二）洛朗级数,洛朗展开定理：设f(z)在环域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对环域内任一点z，f(z)可展为幂级数其中积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,洛朗级数展开,证明：为避免讨论圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为CR1、内圆稍微扩大为CR2，利用复通区域上的柯西公式：,3.5洛朗级数展开,3.5洛朗级数展开,注：,因为不满足柯西公式条件。,例：在以z=0为中心的0|z|+的圆环域内把展开。,3.5洛朗级数展开,解:（直接法）,例：在以z=0为中心的0|z|+的圆环域内把展开。,3.5洛朗级数展开,解:（间接法）,例：在z=1的邻域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,奇点分别为z=1和z=-1，因此在环域内解析，故有,例：在环域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,例：在环域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:,例：以z=0为中心将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,奇点分别为z=1和z=2，因此在z=0的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。,3.5洛朗级数展开,3.6孤立奇点的分类,（一）孤立奇点与非孤立奇点,孤立奇点：,若函数f(z)在某z0点处不可导，而在其任意小邻域内除z0外处处可导，则称z0为f(z)的孤立奇点。,非孤立奇点：,若函数f(z)在某z0点处不可导，且在的任意小邻域内还可找到除z0外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。,例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/sin(1/z)在z0=0点的情况,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。,a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,例:z0=0为sinz/z可去奇点,1、可去奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点。,可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；（2）即f(z)在z0点的去心邻域内有界。,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,2、极点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中含有有限个(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的极点。,其中a-m0，m为有限数，则称z0为f(z)的m阶极点。特殊地，一阶极点称为单极点。,极点的主要特征：1.f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为有限多项；2.。,例:f(z)=(z-2)/(z2+1)(z-1)3,讨论z=1,z=i,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,3、本性奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中含有无限多(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。,对于本性奇点z0，当zz0时，f(z)的值并不固定，而是与z趋于z0的方式有关。,本性奇点的特征1.f(z)在本性奇点z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为无限多项；2.当zz0时，不存在。,例：z0=0是f(z)=exp(1/z)的本性奇点,考察解析函数回路积分问题：,第四章留数定理,情况1：被积函数在积分回路所围区域内解析,由柯西定理可知：,情况2：被积函数在积分回路所围区域内存在奇点,第四章留数定理,4.2应用留数定理计算实变函数定积分,4.1留数定理,（一）留数,4.1留数定理,问题：若f(z)在l内有奇点，,情况1：l内有一个孤立奇点z=z0,由复通区域柯西定理：,l0为包围z0的一个小回路。将f(z)在以z0为中心的环域上展为洛朗级数,（一）留数,4.1留数定理,留数定义：,设是的孤立奇点，是包围在内的闭曲线，且不包含的另外奇点，则在点的留数(Residue)定义为,函数在奇点的留数等于函数在该奇点处洛朗级数的项的系数,（二）留数定理,4.1留数定理,问题：若f(z)在l内有奇点，,情况2：l内有n个孤立奇点,由复通区域柯西定理：,（二）留数定理,4.1留数定理,留数定理：,设函数在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则,留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围各奇点留数之和。,（三）留数的计算,4.1留数定理,留数计算一般方法：,在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，并取其负一次幂项系数即可。,若奇点为极点，可不作洛朗级数展开直接求解。,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,1、奇点为单极点(一阶极点)时,设z0是f(z)的一阶极点，即有,特殊地，若,一阶极点判断依据,（三）留数的计算,4.1留数定理,2、奇点为m阶极点时,设z0是f(z)的m阶极点，即有,两边乘,得到：,m阶极点判据,（三）留数的计算,4.1留数定理,2、奇点为m阶极点时,为了求a-1,对上式求m-1阶导数：,即可得m阶极点留数计算公式：,（三）留数的计算,4.1留数定理,例1：求在处的留数。,另解,m=?,解：,（三）留数的计算,4.1留数定理,例2：求在其奇点的留数。,解：z=n为一价极点,（三）留数的计算,4.1留数定理,例3：求在其奇点的留数。,解：,故：z=2i为单极点,z=0为三阶极点。,（三）留数的计算,4.1留数定理,例4：求积分,解：,（三）留数的计算,4.1留数定理,续前：,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,实变函数积分复变函数的回路积分,将在区间l1=a,b的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来。,基本思想:,方法：,补充线段l2,并且延拓函数到整个复平面，构成回路积分：,l=l1+l2,易于求解(一般为0）,利用留数定理求解,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx的有理式；（2）积分区间是0,2；（3）在区间0,2内，无奇点。,（一）类型一：,处理方法：,则原积分变为：,定义域由实数域拓展到复数域,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例1:计算积分,解：,被积函数在0,2内无奇点，满足类型一要求。,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例2:计算积分,解：,被积函数有单极点,由留数定理：,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当z在上半平面和实轴上时，一致的|zf(z)|0；,（二）类型二：,特殊地：当f(x)是有理分式时：由条件(1)(2)(3)，要求积分式的分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,其积分主值为：,补充围路如图,作线积分,(留数定理),4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,证明：,条件(3),4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题3求积分,单极点，只需考虑上半平面极点+i,解：,满足类型二条件要求。,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题4求积分,解：被积函数满足类型二条件要求。,上半平面奇点为n阶极点+i。,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,（续例题4）,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题5求积分,解：被积函数为偶函数，故,由例4结论，知：,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,其中：（1）积分区间；（2）偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；（3）当z在上半平面和实轴上时，一致地F(z),G(z)0；,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,处理方法：,偶函数,同理可推得：,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,