热传导方程--抛物型偏微分方程和基本知识

1. 热传导的基本概念 1.1 温度场温度场 一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导， 即产生热流。 因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热 速率（导热速率）。 温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。 因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。 说明说明 若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳 态的导热状态。 若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态 的导热状态。 若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为 一维稳态温度场。 1.2 等温面等温面 在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为在空间同一点 不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。温度不同的等温面不会相交。 1.3 温度梯度温度梯度 从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交 的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。温度随距离的变化程度沿法向 最大。 温度梯度：相邻两等温面间温差相邻两等温面间温差t 与其距离与其距离n 之比的极限之比的极限。 说明说明 温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。 稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx 2. 热传导的基本定律热传导的基本定律傅立叶定律傅立叶定律 物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和 温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。 傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速 率大小的定律。 定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比： q = dQ/ds = -dT/dX 式中：q 是热通量（热流密度），W/m2 dQ 是导热速率，W dS 是等温表面的面积，m2 是比例系数，称为导热系数，W/m dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度 “”表示热流方向与温度梯度方向相反 3. 导热系数导热系数 将傅立叶定律整理，得导热系数定义式： = q/(dT/dX) 物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。因此，导热系 数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。其大小取决于物质的组成 结构、状态、温度和压强等。 导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。 3.1 固体的导热系数固体的导热系数 金属：35420W/(m)，非金属：0.23.0W/ (m) 说明说明 固体中，金属是最好的导热体。纯金属：t，；金属：纯度， 非金属：，t，。对大多数固体， 值与温度大致成线性关系： =0（1+t） 式中： 是固体在温度为 t时的导热系数，W/(m) 0是固体在温度为 0时的导热系数，W/(m) 是温度系数，大多数金属：0 3.2 液体的导热系数液体的导热系数 液体导热系数：0.070.7W/(m) 温度的影响：t，（水、甘油除外） 金属液体：其 比一般液体高，其中纯 Na 最高 非金属液体：纯液体的 比其溶液的大 3.3 气体的导热系数气体的导热系数 气体的导热系数：0.0060.67W/(m) 温度的影响：t， P 的影响： 一般压强范围内， 随压强变化很小，可忽略 过高（2105kPa）、过低（ 固 液 气（与分子距离有关）； 同种物体的化学组成愈纯、 越大； 如纯铜 =330千卡/米时， 如纯铜中含有微量的砷时 =122千卡/米时； 内部结构愈紧密、 值愈大； 如聚异氰酸酯塑料 =0.18千卡/ 米时,而聚异氰酸酯泡沫塑料（低温保冷材料）的 =0.0150.023千 卡/米时； 物理状态： 冰=1.93千卡/米时，水=0.49千卡/米时， 水蒸气=0.0139千卡/米时； 湿度：湿材料的导热系数比同样组成的材料要高。因为湿材料含水多，而干 材料有空气。（水气）； 温度：气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的 值，随温度升高而增大。大 部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的 值随温度升高而降低； 压强：因为液体可视为不可以压缩，因此压强影响可以忽略。压强对气体的 影响（高于 2105kPa或低于 3Kpa）下，才考虑压强的影响，此时导热系 数随压强增高而变大。 导热本质是分子振动传热，它取决于物质（分子排列）的疏松程度和温度（分 子振动的速度）。矛盾的主要方面决定事物的性质，所以气体，蒸汽，建筑材 料和绝热材料的 导热本质是分子振动传热，它取决于物质（分子排列）的疏松程度和温度（分 子振动的速度）。矛盾的主要方面决定事物的性质，所以气体，蒸汽，建筑材 料和绝热材料的 值，随温度升高而增大；大部分液体（水与甘油除外）和大 部分金属的 值，随温度升高而增大；大部分液体（水与甘油除外）和大 部分金属的 值随温度升高而降低。值随温度升高而降低。 在工程计算时，温度的变化在不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为 导热系数随温度是线性关系的，即： = o(1+b t ) 式中：t 为温度 o 为温度为 0时的导热系数 b 是由实验测定的常数。在实际计算时，一般可以取其平均温度时的导热系 数的数值，在计算中作为常数处理。 按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于 350，导热系数 的数值不大于 0.12W/MK 材料称为绝热保温材料绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。 特点：特点：是内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体。但 由于其空隙细小，气体在其内部可视为静止的，主要以导热的方式传热，高温时 还伴有辐射方式。气体导热系数小，最终使得整个隔热材料的导热系数（也称表 观导热系数）的数值非常小，达到隔热保温的作用。 影响因素：影响因素：对绝热保温材料，除了要考虑温度的温度的影响以外，还必须注意到湿 度 湿 度的影响。在使用这类绝热保温材料的场合，必须要注意防潮。 热传导方程-抛物型偏微分方程 简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。 热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。 根据热量守恒定律和傅里叶热传导实 验定律导致热传导方程 507-01 (1)式中是温度; kg2是拉普拉斯算符;是导温系数;507-00； kg2是热传导系数； kg2分别是比热和密度； 507-03； 是外加热源密度 自然界还有很多现象同样 可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方 程。 定解问题 为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体 的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。 初始条件： 507-04 (2) 边界条件，最通常的形式有三类。 第一边界条件（或称狄利克雷条件） ： 507-05 (3)即表面温度为已知函 数。 第二边界条件（或称诺伊曼条件） ： 507-06 (4)式中 是的外法向， 即通过表面的热量已知。 第三边界条件（或称罗宾条件） ： 508-01 (5)式中 0；即物体表 面给定热交换条件。 除了以上三类边界条件外还可以在边界kg1上给定其他形式的边界条件， 如斜微商 条件、混合边界条件等。 方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、 (4)、 (5)中的任意一个一起构成了一个定 解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的 初边值问题或混合问题。若,kg2则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称 为热传导方程的初值问题或柯西问题。 基本解与格林函数 基本解是点热源的影响函数。如果在 =0 时刻在( , , )处给定单 位点热源,即( , ， ,0)= ( , , )（ 是狄克函数） ，则当 0 时由它引起的在全空 间 的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。通过傅里叶变换可以 得到它的表达式。当 0 时 508-02 508-03 热 传 导 方 程 初 值 问 题 (1) 、 (2) 的 解 可 通 过 叠 加 的 步 骤 由 基 本 解 生 成 508-04 508-05 508-06 。 对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在( , , )处给定一个单位点热源 ( , , ,0)= ( ， ， ),当 0 时由它引起在内的温度分布（即热传导方程的解）称 为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作 ( - , - , - , )。根据格林公式 508-07 508-08，式中是 的共轭算子， 508-09任意第一边值问题(1) (2)、(3)的解都 可通过格林函数表为 508-10 508-11 508-12；格林函数可以通过 基本解来表示： 508-13 508-14这里 508-15时是一个定义在0,)上的充分光 滑函数。对于一维问题或为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法 去求得。 极值原理 一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中 0）,它的最低温度一定在 边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。事实上，还可以有更强的结论：如果在 =kg1 kg1时在内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻 以前(即 0 时都是无穷次连续可微的,而且关于空间 变量 ， ， 是解析的，关于时间变量 属于谢弗莱二类函数，即在 0,使得对于任意 kg1 kg1,(, )kg1 kg1 有 509-05。如果连续可微，那么(6)可改写 为 509-06 (7)的形式。(7)称为具 有散度形式的抛物型方程，(6)称为非散度形式的抛物型方程。当509-07 时,kg1(6)与(7)是有区别的，不能互推。如果方程(6)、(7)中的系数和右端还依赖于 ，,则(6)和(7)称为拟线性抛物型方程。 抛物型方程和椭圆型方程的研究有相似的地方，它们互相影响、互为借鉴。椭圆型方程理 论很多结果在抛物型方程中都有相应的定理，例如先验估计、极值原理等。 拟线性蜕化抛物型方程 考虑在绝热过程中气体通过多孔介质的流动， 这个过程可由下述 方程来刻画： 509-08，式中 1， 是气体密度，通常研究它的非 负解。由于当 kg1=kg10 时方程蜕化，因此它是一个拟线性蜕化抛物型方程。对于 这个问题的系统理论研究是从 1957 年开始的。解 的支集的边界是一条自由边界，通过自 由边界509-111一般不连续，因此这个方程