河北唐山开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题导学案 新人教A选修11

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题导学案 新人教A版选修1-1【学习目标】1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.【重点难点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.【学习内容】一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算: 和的平均速度hto 探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)则平均变化率为思考: 观察函数的图象平均变化率表示什么?三、典例分析例1 已知函数的图象上的一点及临近一点则 .解: 例2 求在附近的平均变化率.解: 四、课堂练习1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.3.过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.五【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）A BC D2 一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（）A4B8C6D63 将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（）A BCD4 在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（）ABC D5 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是，则下列说法不正确的是（）A在这段时间里，平均速度是B在这段时间里，平均速度是C运动员在时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在内的平均速度比在的平均速度小6函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的7函数