河北宣化第一中学高一数学月考

河北省宣化市第一中学2019-2020学年高一数学11月月考试题第I卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共48.0分)1.在不等式x+2y-10表示的平面区域内的点是（） A.（1，-1）B.（0，1）C.（1，0）D.（-2，0）2.设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，则B=（） A.B.C.或D.3.已知等比数列an满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列an前10项的和为S10=（） A.1022B.1023C.2046D.20474.在ABC中，若a=2，b=2，c=+，则A的度数为（） A.30B.45C.60D.755.在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）-ac=2b2，则sinB=（） A.B.C.D.6.已知m0，n0，2m+n=1，则+的最小值为（） A.4B.2C.8D.167.在等比数列an中，a1+an=82，a3an-2=81，且数列an的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于（） A.4B.5C.6D.78.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值是（） A.10B.9C.8D.79.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a10，若S22a3，则q的取值范围是（） A.B.C.D.10.“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（注释三升九：3.9升次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（） A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升11.下列函数中，最小值为2的函数是（） A.B.C.D.12.+=（） A.-B.C.-D.二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.写出数列，的一个通项公式 _ 14.设x2，则的最小值是 _ 15.若a0，b0，3a+2b=1，则ab的最大值是 _ 16.ABC中，若4sinA+2cosB=4，则角C= _ 三、解答题(本大题共6小题，共56.0分)17. (8分)在等差数列an中，已知a1+a2+a3=21，a1a2a3=231（1）求该数列中a2的值；（2）求该数列的通项公式an18.（8分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B=2sinAsinC （1）若ABC为等腰三角形，求顶角C的余弦值； （2）若ABC是以B为直角顶点的三角形，且，求ABC的面积 19.（10分）已知关于x的不等式ax2-（a+2）x+20 （1）当a=-1时，解不等式； （2）当aR时，解不等式 20.（10分）已知数列an中，a1=1，前n项和Sn=an （1）求a2，a3，及an的通项公式 （2）求的前n项和Tn，并证明：1Tn2 21.（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC （）求b； （）若a=6，求ABC的面积 22.（10分）在等比数列an中，设，为数列bn的前n项和 ()求an和Tn； ()若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围 数学试卷答案和解析【答案】 1.B2.A3.C4.A5.C6.C7.B8.B9.B10.B11.D12.B13.an= 14.6 15. 16. 17.解：由等差数列的性质可知，a1+a3=2a2， 所以a1+a2+a3=3a2=21，则a2=7； （2）依题意得 ， 解得或； 所以公差d=-4或d=4an=11+（n-1）（-4）=-4n+15或an=3+（n-1）4=4n-1 18.解：（1）由sin2B=2sinAsinC及正弦定理得：b2=2ac， 又ABC为等腰三角形，且顶角为C， 则a=b，即b=2c，a=2c， 由余弦定理可得：； （2）由（1）知，b2=2ac， B=90，a2+c2=b2， a2+c2=2ac，即（a-c）2=0，则a=c， 由得， 所以ABC的面积S=1 19.解：（1）当a=-1时，此不等式为-x2-x+20， 可化为x2+x-20， 化简得（x+2）（x-1）0， 解得即x|x-2或x1；（4分） （2）不等式ax2-（a+2）x+20化为（ax-2）（x-1）0， 当a=0时，x1； 当a0时，不等式化为（x-）（x-1）0， 若1，即a2，解不等式得x1； 若=1，即a=2，解不等式得x； 若1，即0a2，解不等式得1x； 当a0时，不等式（x-）（x-1）0，解得x或x1； 综上所述：当a=0，不等式的解集为x|x1； 当a0时，不等式的解集为x|x或x1； 当0a2时，不等式的解集为x|1x； 当a=2时，不等式的解集为； 当a2时，不等式的解集为x|x1（12分） 20.解：（1）由S2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2， 解得：a2=3a1=3； 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3， 解得：a3=（a1+a2）=6 由题设知a1=1， 当n1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得：an=an-1 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，an-1=an-2，an=an-1， 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an=， 综上，an的通项公式an=； （2）=， Tn=2+=2（1-+-+-）=2（1-）=2-2，即Tn2， 又Tn+1Tn，Tn单调增， Tn=T1=1， 则1Tn2 21.解：（）ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC a=3c，2（a2-c2）=b2，=2b，b=4 （）a=6，b=4，a2-c2=2b，c=2，cosC=，C=， ABC的面积S=absinC=6 22.解：()设an的公比为q，由得， -(2分) = =-(5分) ()当n为偶数时，由Tnn-2恒成立得，恒成立， 即，-(6分) 而随n的增大而增大，n=2时， 0；-(8分) 当n为奇数时，由Tnn+2恒成立得，恒成立， 即，-(9分) 而，当且仅当等号成立， 9-(11分) 综上，实数的取值范围(-，0)-(12分) 【解析】 1. 解：不等式x+2y-10， 1-2-1=-30，0+2-1=10， 1+20-1=0， -2+0-1=-30， 故选：B 根据二元一次不等式表示平面区域，即可进行得到结论 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域以及点与平面区域的关系的判断，比较基础 2. 解：a=3， 由正弦定理可得：sinB=， ab，B为锐角， B= 故选：A 由已知及正弦定理可求sinB=，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题 3. 解：设等比数列an的公比为q，a1+a2=6，a4+a5=48，a1（1+q）=6，（1+q）=48， 联立解得a1=q=2 则数列an前10项的和为S10=2046 故选：C 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4. 解：在ABC中，a=2，b=2，c=+， 根据余弦定理，得 cosA= 又A是三角形的内角， 可得0A180， A=30 故选：A 根据题中的数据，利用余弦定理算出cosA=，结合A为三角形的内角，即可算出角A的度数 本题已知三角形的三条边的长度，求角A的大小着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题 5. 解：在ABC中，由余弦定理得：a2+c2-b2=2accosB， 代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=， sinB=， 故选：C 利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值 此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 6. 解：m0，n0，2m+n=1， 则+=（2m+n）=4+4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号 故选：C 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 7. 解：由等比数列的性质可得a1an=a3an-2=81， 又a1+an=82， a1和an是方程x2-82x+81=0的两根， 解方程可得x=1或x=81， 若等比数列an递增，则a1=1，an=81， Sn=121，=121， 解得q=3，81=13n-1，解得n=5； 若等比数列an递减，则a1=81，an=1， Sn=121，=121， 解得q=，1=81（）n-1，解得n=5 综上，数列的项数n等于5 故选：B 由题意易得a1和an是方程x2-82x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a1，an，再由Sn=121得q，进一步可得n值 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属基础题 8. 解：约束条件对应的可行域为直线x+2y-5=0，x-y-2=0，x=0围成的三角形及其内部； 三顶点为， 当z=2x+3y过点（3，1）时取得最大值9， 故选：B 确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最值 本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，属于基础题 9. 解：根据题意，对于等比数列an，有S22a3， 则有a1+a22a3，即a1+a1q2a1q2； 又由a10，则有1+q2q2； 解可得-q1， 又由q0， 则q的取值范围是（-，0）（0，1）； 故选：B 根据题意，分析易得a1+a22a3，由等比数列通项公式可得a1+a1q2a1q2，结合a10，可以变形1+q2q2；解可得q的范围，即可得答案 本题考查等比数列的前n项和，注意运用本公式时注意公比q是否为1 10. 解：设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9， 则an是等差数列，设公差为d， 由题意得， 解得a1=1.4，d=-0.1， 中间两节的容积为：a4+a5=（1.4-0.13）+（1.4-0.14）=2.1（升） 故选：B 设从下至上各节容积分别为a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为d，由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积 本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 11. 解：选项A，令=t，则y=t+，t，y=1-0函数y=t+在，+）上单调递增，则最小值为=，故选项A不正确； 选项B，中取x=-1，则y=-2，故最小值为2不正确； 选项C，当且仅当x=取等号，故最小值为2不正确； 选项D，=2，当且仅当x=0取等号，故最小值为2正确； 故选D 选项A，先换元，然后利用导数研究函数的单调性从而求出最值，可判定真假；选项B，可取x=-1进行否定；选项C，利用基本不等式可求出最大值为2，可判定真假；选项C，利用基本不等式直接求解，可判定真假 本题主要考查了基本不等式，以及利用导数研究函数的单调性，注意利用基本不等式的条件，属于基础题 12. 解：因为= 所以+=1+ =1- = 故选：B 化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可 本题考查裂项消项法求和的方法，考查计算能力 13. 解：数列，的一个通项公式为：an= 故答案为：an= 从符号、分子与分母上考虑即可得出 本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14. 解：x2，则x-20， =x-2+2+2=6，当且仅当x=4时取等号 因此y的最小值是6 故答案为：6 变形利用基本不等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15. 解：a0，b0，3a+2b=1， 1=3a+2b2，当且仅当a=，b=时取等号， ab， ab的最大值是， 故答案为： 利用基本不等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题 16. 解：4sinA+2cosB=4， 2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=， 两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sinAcosB+sinBcosA）=7， sin（A+B）=， sin（180-C）=sinC=， 得出C=或 若C=，可得：A+B=，cosB1，2sinA1，2sinA+cosB=2，不成立， C= 故答案为： 先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案 本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用属基础题 17. （1）利用等差数列的性质求出a2的值； （2）得到a1，a3的方程组，从而求出a1，a3的值，得到公差d，可得通项公式本题主要考查了等差数列的性质，以及通项公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础试题 18. （1）由正弦定理化简已知的条件列出方程，由条件