浙江省浙南名校联盟届高三数学上学期第一次联考试题

浙江省浙南名校联盟2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别计算集合A和B，再计算【详解】故答案选B【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.2.已知双曲线：的离心率为，其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.【详解】双曲线：的离心率为，其右焦点为则 得到 双曲线方程为：故答案选A【点睛】本题考查了双曲线方程，属于基础题型.3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原立体图形，再计算体积.【详解】如图所示：底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高 故 【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，通过三视图还原立体图是解题的关键.4.已知实数满足则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，将看作点到原点的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，看作点到原点的斜率根据图像知，当时，有最小值为 【点睛】本题考查了线性规划，将看作点到原点的斜率是解题的关键.5.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】当时，得到两边同时除以得到，充分性当时，取，则，不满足，不必要“”是“”的充分不必要条件故答案选A【点睛】本题考查了充分必要条件，通过举反例判断不必要可以简化运算，是解题的关键.6.函数的部分图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B，当时，排除CD，得到答案.【详解】， 为奇函数，排除B当时，恒成立，排除CD故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.7.设，随机变量的分布列如下：则当在内增大时（ ）A. 减小，减小B. 增大，增大C. 增大，减小D. 减小，增大【答案】B【解析】【分析】分别计算和的表达式，再判断单调性.【详解】,当在内增大时, 增大，当在内增大时, 增大故答案选B【点睛】本题考查了和的计算，函数的单调性，属于综合题型.8.设点是长方体的棱的中点，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ）A. 椭圆的一部分B. 抛物线的一部分C. 一条线段D. 一段圆弧【答案】C【解析】【分析】根据公式得到，计算得到到直线的距离为定值，得到答案.【详解】设在平面的投影为，平面与平面所成的锐二面角为 则 在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为 则故即得到 即到直线的距离为定值，故在与平行的直线上又点在面上，故轨迹为一条线段.故答案选C【点睛】本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过可以简化运算，是解题的关键.9.已知正三角形的边长为2，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】可建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可得动点在图中的圆上（实线部分）运动，设点，则可用的三角函数表示，从而可求其最大值.也可以把表示为，故（如图），利用向量共线的几何意义可得的最大值就是的最大值，利用三角形相似得当与半圆相切时最大.【详解】如图所示，由于动点满足，且，因为，所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动，所以，因为，所以，.所以，故选D方法二：等和线法由于动点满足，且，其中，所以点在以点为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动且.设的中点为，与交于点，所以，所以，过点分别作直线平行交于，则，当与半圆相切时，最大且为.故选D.【点睛】在平面向量基本定理的应用中，我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值，此类问题的处理，首先考虑能否建立平面直角坐标系，条件是题设中的图形是较为规则的图形，其次考虑改换基底向量，把系数和转化为线段长的比值，再利用几何意义求最值.10.已知数列满足，则（ ）A. 当时，则B. 当时，则C. 当时，则D. 当时，则【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】即 当时，故，A错误当时，故，B错误对于D选项，当时，D错误用数学归纳法证明选项C易知恒成立当时，成立假设当时成立，即当时：即 成立故恒成立，得证故答案选C【点睛】本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用.11.瑞士数学家欧拉于1777年在微分公式一书中，第一次用来表示-1的平方根，首创了用符号作为虚数的单位若复数（为虚数单位），则复数的虚部为_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用复数的除法可计算，从而可求其虚部和模.详解】，故虚部为，模为，故分别填.【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.12.已知展开式中所有项的系数之和为-4，则_；项的系数为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令后可求得，利用二项展开式可求的系数.【详解】令，故展开式项的系数为【点睛】本题考查二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算，属于基础题.13.在中，角所对应的边分别为，已知，且，则_；若为边的中点，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理得到，再利用，平方得到答案.【详解】利用正弦定理得到：即 为边的中点，则故答案为，【点睛】本题考查了正弦定理，向量的运算，其中表示是解题的关键，可以简化运算.14.名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有_种排法【答案】【解析】【分析】将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况，相加得到答案.【详解】当两端都是男生时： 当两端都是女生时： 共有种排法故答案为【点睛】本题考查了排列，将情况分为两种情况可以简化运算，是解题的关键.15.已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于，则椭圆的离心率的最大值等于_，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】化简为，的最大值为5等价于的最大值为4，根据对称轴得到关系式解得答案.利用椭圆性质得到，再根据三角形边的关系得到答案.【详解】化简为，圆心.的最大值为5等价于的最大值为4设，即，又化简得到 当时，验证等号成立对称轴为满足故 故离心率最大值为 当时，离心率有最大值，此时椭圆方程为，设左焦点为 当共线时取等号.故答案为和【点睛】本题考查了椭圆的离心率，线段和的最值问题，利用椭圆性质转化是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.已知非零向量，满足，则对任意实数，的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式计算夹角为，以坐在直线为轴，建立直角坐标，计算得到对应的点在上，表示的是圆上一点到直线上一点的距离，计算得到答案.【详解】，如图所示：以所在直线为轴，建立直角坐标系则，设得到即 表示的是圆上一点到直线上一点的距离此距离的最小值为： 故答案为【点睛】本题考查了向量的运算，直线到圆距离的最值，意在考查学生的转化能力和计算能力.17.设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为_【答案】2【解析】【分析】将函数变形为，设，画出函数图像，当时取最值，得到答案.【详解】设 在上单调递增，在上单调递减， 设画出函数图像： 对任意的实数和，总存在，使得等价于求最大值里的最小值.根据图像知：当时，最大值的最小值为2故实数的最大值为2答案为2【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.18.函数的图象过点，且相邻的最高点与最低点的距离为.（）求函数的解析式；（）求在上的单调递增区间.【答案】（）；（）和.【解析】【分析】（）利用勾股定理得到，将点代入图像得到，得到答案.（），函数的单调区间为，代入得到上单调区间.【详解】解：（）函数的周期，把坐标代入得，又，（）令解得 在上的单调递增区间是和【点睛】本题考查了三角函数的解析式，三角函数的单调区间，属于常考题型，需要熟练掌握.19.如图，四棱锥中，平面，为的中点，与相交于点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（）先证明面得到，再证明得到平面.（）以为原点，分别以为轴，轴，轴的建立直角坐标系.计算平面的法向量为，再利用向量夹角公式得到答案.【详解】解：（） 由已知平面，可得，由题意得，直角梯形，如图所示，所以为平行四边形，所以，所以.又因为，且，所以面，故.在直角梯形中，因为面，所以，所以为等腰直角三角形，为斜边上的中点，所以.且，所以平面（）法一：以为原点，分别以为轴，轴，轴建立直角坐标系.不妨设，设是平面的法向量.满足 ，所以 ，则令 ，解得法二：（等体积法求到平面的距离）设，计算可得， ， ，解得【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（）求数列的通项公式；（）证明：，.【答案】（）；（）详见解析【解析】【分析】（）直接用等差数列，等比数列的公式计算得到.（）直接利用裂项求和得到，得证.【详解】（）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以，.（）法1：由（）可得，.，.法2：由（）可得，.我们用数学归纳法证明.（1）当时，不等式成立；（2）假设（）时不等式成立，即.那么，当时，即当时不等式也成立.根据（1）和（2），不等式，对任意成立.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活掌握.21.已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（）求的取值范围；（）若的面积等于，求的值.【答案】（）或；（）.【解析】【分析】（）设，的中点代入抛物线得到二次方程，解得答案.（）先计算到的距离，再计算，代入面积公式得到答案.【详解】（）设，则的中点，代入得：同理可得：所以，是方程的两个根解得：或（）点到的距离由韦达定理可知：，则令，则有：，即：，解得，即，解得：【点睛】本题考查了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算.22.设，其中，函数在点处的切线方程为.其中（）求证：函数有且仅有一个零点；（）当时，恒成立，求最小的整数的值.【答案】（）详见解析；（）2.【解析】【分析】（）求导，根据，解得，再判断函数在上单调减， 得证.（）先判定，不等式等