第十一章微分方程课件

1,高等数学教程(中),2,第十一章微分方程,3,第一节微分方程的基本概念,4,一、引例,例,已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线,上任一点M(x,y)处的切线斜率为其横坐,标的2倍，求这曲线方程。,一、引例,5,解：,设曲线方程y=y(x),由题意,且满足,由,2,=1+C,为所求曲线。,6,例,只在重力下(不计空气阻力)，一质量,为m的质点自由下落，求质点运动的规律,(位置与时间的关系)。,解：,设物体下落的铅垂线为x轴，向下为正，,点o为质点运动的起点，则x=x(t).,x,o,由牛顿第二基本定律,F=ma,(a加速度F作用力),质点只受重力作用,F=mg,7,对t两次积分：,由初始时刻t=0,质点的初始位置x=0,及初始速度为0,即,8,二、基本概念,定义:,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，称为微分方程。其一般形式：,二、基本概念,我们的目的是要根据这个关系来求出y=y(x)的表达式。,9,三项基本任务：,1，据实际问题列出微分方程,2，解微分方程,求出函数关系式(重点),3，研究所得函数（解）的性质,10,说明：,1.,未知函数是一元函数的称为常微分方程，,注：方程中可以不出现自变量x与未知,函数y,但y的导数或微分必须出现。,未知函数是多元函数的称为偏微分方程，,如,11,2.,方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数，称为微分方程的阶。,线性微分方程:函数y及其导数的一次方程,12,3.,能使方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解。特别地：,(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数(且,n阶方程的通解的一般形式：,相互独立)的解称为微分方程的通解。,(2)确定了通解中任意常数的解称为微分,方程的特解。,13,4.,由实际情况提出的可确定通解中任意常数,的条件称为初始条件。,初始条件个数=任意常数个数=方程阶数,如：,14,求微分方程满足初始条件的特解问题，称为微分方程的初值问题，形式为：,15,注意1，不能认为方程的解简单地加上一个,任意常数后还是方程的解，,例如：,16,注意2，通解中的任意常数必须实质上是任意的,如：y=c1+c2x+c3x2c1,c2,c3任意,而y=c1x+c2xc1,c2不任意,因为：y=(c1+c2)x=cx(c=c1+c2),仅为一个任意常数,17,5.,解的几何意义：,通解表示以常数C为参数的一族积分曲线。,微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线。,18,表示其中一条确定的,如:对一阶微分方程,其积分曲线的方程：,通过点(x0,y0)的积分曲线。,二阶微分方程满足,的特解表示通过点(x0,y0)且在该点切线斜率为,的那条积分曲线。,19,例题,例,证：,代入方程：,=1.,20,解：,消去了C1，C2的关系式就是所要求的,微分方程。,即为所求方程。,21,的通解，求微分方程,解：因为方程中含有二个任意常数，,所以是二阶方程。,由题设，两边对x求导可得：,(1)再由等式两边对x求导有,化简可得：,22,为从方程中消去任意常数c2将(1)式代入题设,就有,所以有,代入(2)得,是二阶线性微分方程。,23,24,25,课外作业（1）,作业,26,第二节可分离变量的微分方程,27,一阶微分方程的一般形式：,一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式：,两种形式是等价的。,28,若一个一阶微分方程可化成,的形式，,则称此方程为可分离变量的微分方程。,解法：,分离变量，然后等号两边同时积分。,分离变量法,29,1.,解：,dy,dx,+C,即为所求微分方程的通解。,30,解：,分离变量：,两边积分：,31,解：,为通解；,所求特解：,32,3.设y(x)是一个连续可微函数，且满足,求y(x),33,解：,方程两边对x求导：,整理得：,方程两边再对x求导：,即：,34,课外作业（2）,35,第三节齐次方程,则称f(x,y)为k次齐次函数。,当k=0,即f(tx,ty)=f(x,y),则f(x,y)称为零次齐次函数，且有,第三节齐次方程,36,若方程可表为：,则称此方程为齐次方程。,的形式，,一、齐次方程,一、齐次方程,37,38,齐次方程解法：,分离变量：,39,解：,求下列微分方程的通解：,回代,所求通解：,例,40,解：,分离变量：,所求通解：,41,(3),设曲线y=f(x)上任意点M到坐标,原点的距离等于曲线上M点的切线在y轴上的截距,且曲线过点(1,0),求此曲线方程。,(1,0),M(x,y),42,解：,设曲线方程为y=y(x),过点M(x,y)的切线方程：,由题意：,43,代入初始条件得:C=1,44,二、可化为齐次的方程,则是齐次的，,可用前面的方法求解,否则，,是非齐次的，,为求其解，令,二、可化为齐次的方程,45,考虑方程组：,此时方程化为,齐次方程,46,引入新变量v=ax+by,原方程化为：,变量可分离的微分方程,47,求出其通解后再将v用ax+by代回即得原方程的通解。,例1.,解：,此时方程化为,48,所以原方程通解：,49,例2.,解：,所以原方程的通解为：,即,50,作业,课外作业（3）,51,第四节一阶线性微分方程,52,其中P(x),Q(x)为已知的连续函数。,一，般形式,53,说明：,1)方程中未知函数y及其导数y的次数,均为一次，故称为线性方程。,2)P(x),Q(x)可为任意的连续函数。,3)方程中Q(x)称为自由项，或非齐次项。,(1),称为一阶齐次线性方程,(2),称为一阶非齐次线性方程,54,（一）,可分离变量方程,(1)的通解,55,1,先求出对应的齐次线性方程(1)的通解,2,以C(x)代替C，即令,3,把所令y代入方程：,(C:任意常数),4,得非齐次线性方程(2)的通解：,求出C(x):,（二）,56,非齐次线性方程(2)的通解结构：,=I+II,非齐次通解,y,=,+,+对应齐次通解,=非齐次特解,57,例,例1：,解：,x,58,59,例2.,解：,60,例3.设函数f(x)处处可导，且有,并对一切实数x、y满足关系式,证明必有,61,解：,令y=0，,62,一阶线性方程，,通解为,得c=0,63,课外作业（4）,作业,64,65,二，贝努利方程,的方程，称为贝努利方程。,说明：,(1),贝努利方程本身不是线性方程,但通过,n=0时，方程为线性方程；,n=1时，方程为可分离变量方程。,(2),适当的变量代换后可化成线性方程。,二，贝努利方程,66,解法：,方程两边同除yn,67,为关于未知函数z的一阶线性微分方程，,求出通解后，,再将,回代即可。,68,例1.,解：,两边同除y1:,例,69,70,例2：,解：,未知函数x=x(y),n=2.,两边同除x2:,71,72,三，利用变量替换求解微分方程,73,74,课外作业（5）,作业,75,第五节*全微分方程,76,一，二元函数的偏导数,定义1,77,函数对x的偏增量,78,79,全增量的概念:,80,全微分的定义:,81,82,函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.,83,解,在(2,1)处的全微分：,它们均连续。因此，函数可微分。,84,若一阶微分方程,则此方程称为,全微分方程，且存在,二，全微分方程,一个二元可微函数,85,86,全微分方程的求解方法,全微分方程的求解方法,1,87,就是微分方程的通解.,88,例,解,为全微分方程,所以存在,方程变形为：,89,90,2,分项组合凑微分法,91,92,常用凑全微分式：,d(xy)=ydx+xdy,xdx+ydy=,或,93,解二：,凑微分，,例,先将题设变形为,94,例,解：,将方程改写为：,95,若对,来说，,则它不是全微分方程。,若有一个适当的,3，积分因子法,96,通常,积分因子不是唯一的.一般来说求一个积分因子并非易事,但在较简单的情况下,可以用观察法来得到.,97,例,解：,原方程不是全微分方程。,方程化为,此时：,是全微分方程,98,原方程通解为(曲线积分法),99,例确定连续可微函数f(x),使f(0)=1。且使,为全微分方程。并求解此全微分方程。,解：,由f(0)=1得C=1,100,此时，原方程为,所以原方程的通解为,101,一阶微分方程,102,第六节可降阶的高阶微分方程,103,二阶及二阶以上的微分方程统称为,高阶微分方程,二阶微分方程的一般形式：,主要介绍：,(1)可降阶的二阶微分方程；,(2)二阶线性微分方程；,104,方程右边仅含自变量x.,两边逐次积分n次,例：,解：,求解法：,特点：,+C1;,+C1x+C2;,+C3.,105,方程中不出现未知函数y.,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,106,1.,可分离变量,解：,例,107,2.,解：,一阶非齐次线性方程,108,109,推广：,原方程化为：,为一阶微分方程，,逐次积分n-1次。,110,例：,解：,111,特点：,方程右边不(明显)出现自变量x.,求解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,112,例1：,解：,例,113,例2：,的过原点且在原点与,直线y=2x+1相切的积分曲线。,解：,的特解。,为所求积分曲线。,可分离变量，,114,作业,课外作业（6）,115,第七节高阶线性微分方程,116,未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称为线性微分方程。,n阶线性微分方程的一般形式是：,称其为齐次线性微分方程；,称其为非齐次线性微分方程。,117,一,线性微分方程的解的结构(以二阶为例),二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),引进记号L：,则(1),(2),一,线性微分方程的解的结构,118,定理1：,设y1,y2是Ly=0(1)的两个解，,也是(1)的解，,其中C1,C2为任意常数。,问题：,是否就是(1)的通解？,则,Ly=0(1)的解的叠加原理,119,如：,设y1与y2=2y1都是Ly=0(1)的解，,则由定理1，,也是Ly=0的解。,但不是Ly=0的通解。,y1,y2究竟满足什么条件，才能使其组合为,方程的通解？,120,定义：,n个函数，如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内取值时，,成立,就称这,n个函数在区间I内线性相关；否则，称,线性无关。,121,例,这三个函数,在整个数轴上是线性相关的。,122,在任何区间a,b上都是线性无关的。,123,定理2,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设y1与y2是(1)的两个线性无关的特解，,则,(C1,C2为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程(1)的通解。,例：对,都是方程解，,124,125,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解则,是非齐次线性方程(2)的通解。,特解，,(1),非齐次(2)通解=对应齐次(1)通解(2)特解,126,定理4：,(广义迭加原理),127,例,又显然,128,二，常数变易法,129,130,131,132,作业,课外作业（7）,133,第八节常系数齐次线性微分方程,一,二阶常系数齐次线性微分方程,134,二阶线性微分方程：,齐次：,非齐次：,(1),(2),135,一、特征方程,求二阶常系数齐次线性微分方程,(1),（其中p,q为常数）的通解。,136,由(1)的特点，,用指数函数,进行尝试，r=?,是方程(1)的解。,代入方程：,(*)称为方程(1)的特征方程。,则,得：,137,一元二次方程(*)的根,微分方程,(1),特征方程,是两个不相等的实根；,是两个相等的实根；,是一对共轭复根，,138,二、特征方程的根与微分方程解的关系,是齐次线性微分方程(1)的解，,常数，,即y1,y2线性无关。由定理二(p134)，,(1)的通解：,(1)当,139,(2)当,y1,y2线性相关，,另找y2，使与y1线性无关。,代入,是否是(1)的解？,满足方程。,(1)的通解：,140,(3)当,由欧拉公式：,再由解的叠加原理(P118)，,也是(1)的解，,(1)的通解：,141,通解的步骤：,写出对应的特征方程：,(1),(2),(3),求出特征根：,根据下表写出方程(1)的通解：,(1),142,例1：,求下列微分方程的通解：,解：,特征方程：,解：,特征方程：,为通解。,为通解。,143,3.,为通解。,为通解。,特征方程：,特征方程：,解：,解：,4.,144,例2：,解：,特征方程：,为通解。,为所求特解。,145,二,n阶常系数齐次线性微分方程,146,推广到n阶常系数线性微分方程：,n阶常系数线性微分方程的一般形式：,解法：,求此一元n次代数方程的n个根，,根据每个根的情况得到对应微分方程通解中一项yi(i=1,2,n),写出特征方程：,147,148,149,例：,解：,特征方程：,150,例：,解：,特征方程：,有二重复根：,151,152,153,课外作业（8）,154,第九节常系数非齐次线性微分方程,155,一般形式：,（p,q为常数）,对应齐次微分方程：,其特征方程：,(1),(*),156,又由非齐次(2)的通解结构知：,如何求,?,对两种常见的f(x),利用待定系数法求,157,分析：,y*与f(x)应属同一形式函数，才能,使方程成立。,f(x)是m次多项式与指数函数的乘积，,推测,其中Q(x)是待定的x的多项式。,158,159,(),即为Q(x)所需满足的条件。,160,分三种情况讨论：,不是特征方程,的根。,要使（）成立，,必须Q(x)与Pm(x)同次，,161,是特征方程,的单根。,（）,要使()成立，必须,162,（）,是特征方程,的二重根,要使()成立,必须,163,求其特解，,当不是特征方程的根时,取,当是特征方程的单根时,取,当是特征方程的二重根时,取,k=0;,k=1;,k