球面距离的计算

计算球面距离的经典例子1.位于同一纬度线上的两点之间的球面距离例1众所周知，B和E分别位于北纬和东经。让地球的半径用来计算球的距离分析：两点，球面距离b，过，b为大圆，根据弧长公式，关键要求是中心角的大小(见图1)，而要求通常要求弦长第一，即两点的球面距离，通常要求这两点的直线距离第一。这个解被做成一个直接图(见图2)，设定为球体的中心，北纬的圆心，连接，由于地球的平面轴。角和二面角是纬度和平面角。(经度差)。中等。，根据余弦定理。，通过余弦定理：,.的球面距离大约是。2.同一子午线上两点之间的球面距离例2:分别求出东经与北纬和北纬之间的球面距离。(将地球半径设置为)。(参见图3)溶液通过的大圆是已知的子午线。嘿。3.不同经线和不同纬线上两点之间的球面距离例3:地点位于北纬和东经，地点b位于北纬和东经。找出两个地方之间的球面距离(见图4)解被设置为球体的中心，它分别是北纬和北纬圆的中心，连接，纬度已知的三角洲，。中等，.请注意，和是具有不同平面的直线，它们的公共垂直线是，形成的角度是经度差。使用直线上具有不同平面的两点之间的距离公式。(表示经度差异)。中等。.的球面距离大约是。球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离是两点之间通过两点大圆的坏弧的长度。我们称这个弧长为两点之间的球面距离。常见的问题是找到地球上两点之间的球面距离。穿过地球上a点和b点的大圆的下弧长由球心角AOB的大小决定。一般情况下，弦长AB先计算，然后AOB用等腰AOB计算。接下来，我们用坐标法导出地球上两点之间的球面距离公式。地球球体上各点的位置由经度和纬度决定。我们引入了有向角和经纬度符号的概念：东经被指定为正，西经被指定为负；北纬为正，南纬为负(例如，西经30的经度=-30，南纬40的纬度=-40)。这是简单而自然的。球面上A点的球面坐标是A(经度，纬度)。两个校准点清晰直观。设地球的半径为R，球面上两点A和B的球面坐标为A(1，1)，B(2，2)，1，2-，1，2-，。如图所示，穿过地球的球体上的子午线和赤道在点C相交，子午线和赤道在点d相交。让地球的半径为R；AOC=1，BOD=2，DOC=1-2 .此外，以O为原点，以OC所在的直线为x轴，以地轴所在的直线为z轴，建立了O-XYZ坐标系(如图所示)。然后是A (RCOS 1，0，RSIN 1)，B (RCOS 2 cos ( 1- 2)，RCOS 2 sin ( 1- 2)，RSIN 2)cosAOB=cos u OA，OB u=cos1 cos2 cos(1-2)sin1 sin2AOB=arcoscos1 cos2 cos(1-2)sin1 sin2反余弦的单位是弧度。因此，从弧长公式，可以得到地球上两个球面点之间的距离公式：=Rarcoscos1 cos2 cos(1-2)sin1 sin2(I)在推导上述公式时，只需写出点A和点B的球面坐标，利用矢量角公式和弧长公式即可得出结论。该公式简单明了，易于理解，具有明显的特点。从公式的推导中，我们认识到坐标法在解决几个问题中的非凡表现。从公式(1)中，我们知道地球上两点之间的球面距离不需要弦长，而只需要弦长分析：1=20，1=2=45，由公式(二)得出：r=Rarcoscos 245 cos(20-2)sin 245cos=cos(20-2)cos(20-2)=0，20-2=90，即2=110或2=-70所以B点在北纬45度，东经110度或西经70度案例二，(2002年第六届北京市高中数学应用竞赛)2002年9月27日北京时间14: 00，国航981航班准时从首都国际机场起飞。当地时间9月27日15: 30，航班准时顺利降落在纽约肯尼迪机场。北京时间10月1日19时14分，经过13个小时的飞行，国航982航班准时降落在北京首都国际机场，从而成功完成了北京至纽约的首趟直航。这是中国航空公司首次运营从北京经极地直飞纽约的航班。从北京到纽约的原路途经上海(北纬31度，东经122度)、东京(北纬36度，东经140度)和旧金山(北纬37度，西经123度)。如果飞机在10公里的高度飞行，假设地球是一个半径为6371公里的球体，试着分析和计算新航线的飞行距离比原来的航线短多少。解决方法：本题应计算以北京和纽约为端点的大圆次弧长，然后计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约的大圆次弧长之和，然后计算它们的差值。球1.如果球的内接立方体的表面积(立方体的顶点都在球体上)是6，球的体积是_ _ _ _ _ _。从已知的立方体来看，边长是1，因为球的直径等于立方体的对角线长度，直径是，.球的体积2.在赤道上，在东140和西130的海面上有两点。A和B之间的球面距离是_ _ _ _ _ _(把地球的半径设为R)。让球面的中心为o，8756 AOB=(180-140) (180-130)=90，8756， A，b的球面距离为。3.假设立方体的总面积为，并且一个球体内接在立方体中，那么球体的体积为()。A.中国人民银行A.如果立方体的总面积是，棱的长度是2厘米，在立方体中的球的直径是2厘米，球的半径是1，它的体积是4.如果立方体的顶点都在球面上，并且其边长为2厘米，则球面的表面积为()。A8磅12磅16磅20磅。球的直径等于立方体的对角线长度，球的表面积5.假设地球的半径是R，在北纬60度的纬度圆上有两个地方A和B。它们在纬度圆上的弧长是，那么这两个地方之间的球面距离是()。A.学士学位。b .如图9-70所示，将北纬60的圆心设为，球体的圆心设为o，那么，纬度圆上的87 A和B的弧长是，那么， A，b共线， oa=ob， AOB是一个正三角形，、 A和b的球面距离等于。6.立方体的内切球与其外切球的体积比为()。甲1乙1丙1丁11如果立方体的棱柱长度是2a，它的内接球面半径是a，它的外接球面半径是，两个球面的体积比是7.球面上有三个点a，b和c，ab=BC=2厘米，从球面中心o到截面ABC的距离等于球面半径的一半，所以球面的体积被计算出来。* a、b和c是球面上的三个点， OA=OB=OC。如果圆形横截面的中心是，那么平面ABC，是ABC的外接圆的中心。ab=BC=2，和 ABC是直角。在、OA=r中，是的，解决方法是，球体积8.半径为1的球面上有三个点A、B和C，其中A和B、A和C的球面距离为，B和C的球面距离为，计算球面中心到平面ABC的距离。3.将球面中心设置为0，这可以从球面距离的定义中看出。* oaob、Oa OC、OA飞机中行。三角金字塔的体积。在ABC，BC=1，取BC的中点m，AMBC,从o点到飞机ABC的距离是h，也就是说，从o点到ABC平面的距离是。从球的中心到横截面的距离d与球的半径r和横截面的半径r有如下关系：(计算公式)(3)球的横截面是圆形的：球体的大圆：其球体被穿过球体中心的平面切割的圆。9.众所周知，倒锥形容器的轴截面是等边三角形。将水注入容器中，并将一个半经度为R的球放入容器中。此时，水面刚好与球相切，因此取出球后水面的高度被计算出来。解决方案：如图所示，圆锥轴的横截面是一个正三角形ABP，球体的中心是O，而重心是圆锥的高度。将球取出后，水面为EF，高度为PH，连接OC和OA。然后*和因此，。取出球后的水位高达。10.北纬45度的纬度圈中有两点A和B。它们分别位于东经70和东经160的经度圈中。将地球的半径设为R，计算两点A和b之间的球面距离分析：点A和点B之间的球面距离是必需的。用AOB来分析，球面距离只能由AOB的度数和AB的长度来确定。解答：如果北纬45度圆的中心是O，地球的中心是O，那么 AOB=160-70=90OBO=45，OB=R 那么，点a和b的球面之间的距离是。11.众所周知，地球的半径是，球体上的两个点都在北纬45度圆上，它们的球面距离是，该点在东经30度，找到该点的位置和对应于这两个点所在的纬度圆的下弧的长度。分析：找到一个点的位置，如图所示，就是找到它的大小。只需要字符串的长度。对于应该放在中心的解，可以根据球面距离的概念来计算。解决方法：如图所示，让球体的中心，北纬45度圆的中心，因为两点之间的球面距离是，因此=，这是一个等边三角形。因此。到。那是。它也位于东经30度，所以它位于东经120度，北纬45度或西经60度，北纬45度。下弧对应于纬度圆上的两点。注意：本主题的主要目的是阐明经度和纬度的概念，并利用球的横截面的性质和圆的相关性质来设计计算方案。12.从球面上的一个点得到的值，该点有半径，是引导球的三条两条垂直的线。分析：要计算和评价这个问题，我们首先要把它们放在一个封闭的图形中进行计算，所以我们应该引导学生构造熟悉的几何图形，并与球有密切的关系，以便于球的条件与它的联系。解决方案：对于从一个顶点开始的三条边，三角金字塔被补充成一个长方体，其他四个顶点必须在球面上。因此，长方体是球的内接长方体，长方体的对角线长度就是球的直径。=。说明：本主题突出了构造方法的使用以及分割和补充形状方法的渗透，以解决立体几何中的体积计算。*示例7。将半径为1的四个球中的三个放在桌面上，将其切成两个两个，然后将第四个球放在上面，使其与前三个球相切，并找出第四个球的最高点与桌面之间的距离。分析：关键是根据需求构造相应的几何图形。因为四个球体具有相同的半径，所以四个球体必须形成正四面体的四个顶点，并且正四面体的