云南玉溪第一中学高二数学下学期第一次月考文

玉溪一中高2020届高二下学期第一次月考 文科数学试卷 一选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1.已知全集，集合，则=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，；故选B考点：集合的运算2.下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】为偶函数且在上单调递减，根据偶函数排除和；根据单调性排除.【详解】由可知函数为偶函数，且当时，函数单调递减选项：，为偶函数；当时，此时函数单调递增，根据偶函数对称性可知，函数在上单调递减，符合题意；选项：，可知函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项：，可知函数为奇函数，不符合题意；选项：在上单调递增，不符合题意.本题正确选项：【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判定，属于基础题.3.在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将直线的极坐标系方程转化为平面直角坐标系方程，求出对称点，再转化为极坐标.【详解】解：因为，所以直线为所以极点（0,0）关于直线的对称点为（1,1）所以，所以该点极坐标为故选：C.【点睛】本题考查了极坐标系与直角平面坐标系的转化，对称点的求法，属于基础题.4.已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体，利用体积公式直接求解即可.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知：平面平面，高是，其中，平面主视图是边长为的正三角形，为直角三角形，所以本题正确选项：【点睛】本题考查三视图还原几何体、锥体体积的求解，关键在于能够准确还原几何体，属于基础题.5.下列能使成立的所在区间是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合函数图像，采用排除法依次排除各个选项即可.【详解】选项：时，可知错误；选项：时，可知正确；选项：时，可知错误；选项：时，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查结合三角函数图像比较大小关系，可以采用特殊值的方式进行排除.6.如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的，依次输入，则输出的s（）A. 3B. 10C. 25D. 56【答案】C【解析】【分析】按照程序框图依次运行，直到符合时输出得结果.【详解】根据程序框图运行可知：第一次运行：，有，循环；第二次运行：，有，循环；第三次运行：，有，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图的循环结果，对于运行次数较少的题目，直接依次列举得到结果即可.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩.老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩.看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A. 甲可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 甲、丁可以知道对方的成绩D. 甲、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选：D.【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.8.已知直线与圆交于A，B两点，O是坐标原点，且，则实数a的值（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先由，分析得到OAB为等腰直角三角形，可通过点O到直线AB的距离列方程求解.【详解】解：因为所以所以OAB是直角边为2的等腰直角三角形所以点O(0,0)到直线AB的距离等于所以解得故选：C.【点睛】本题考查了向量的垂直，直线与圆的位置关系，属于基础题.9.已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求得k，求出的导数，计算可得所求值【详解】解：由直线是曲线在处的切线，曲线过可得，即有，可得，则，故选B【点睛】本题考查导数的几何意义，直线方程的运用，函数求导，考查方程思想和运算能力，属于基础题10.已知函数，其中为常数，且，若，则的最小正周期为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由分析出函数关于对称，然后求出，计算.【详解】解：因为所以函数关于对称所以所以又因为所以所以故选：C.【点睛】本题考查了余弦型函数的对称性与周期性，属于基础题.11.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12.设函数（e为自然对数的底数），则满足的的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析分段函数两段解析式画出函数简图，然后结合函数简图列出关系式，解出x.【详解】解：当时，单调递减，且可画出函数图像如下所以，解得所以故选：B.【点睛】本题考查了分段函数，函数的单调性，利用函数图像解函数不等式，画出函数简图是解题的关键.二填空题（共4小题,每小题5分,共20分）13.若向量与向量共线，则_【答案】【解析】【分析】先由向量共线求出，然后计算.【详解】解：因为，所以，解得所以故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，与向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.不等式的解集为_【答案】【解析】当时，无解；当 时，则 ；当时，则；综上可知不等式的解集为.15.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，则球O的体积为_【答案】【解析】【分析】先由圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆半径和高，然后根据圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上，设球的半径为R，列出方程解出R，然后计算球的体积.【详解】解：因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆所以圆锥的母线长为，且底面圆的半径为，高为3因为该圆锥的顶点及底面圆周在球O的表面上设球O的半径为R，则解得所以球O的体积为故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，空间几何体的外接球，属于基础题.16.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用三解答题（共6小题,共70分）17.已知函数（1）若ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小.（2）在（1）的条件下，若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）将化简为，代入求得；（2）根据正弦定理求得，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值.【详解】（1），又为锐角（2）的外接圆半径为 由正弦定理得：由余弦定理：得：即（当且仅当时取等号）则三角形的面积（当且仅当时取等号）故三角形面积最大值为【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.18.已知等差数列的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）用和表示出和，解方程求得和，从而得到通项公式；（2）根据（1）得到的通项公式，利用裂项相消法表示出，从而证得结果.【详解】（1），即 成等比数列，可得，即有由解得则（2）证明：由（1）知：，则前项和为 由为递增数列，可得又，可得即有【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和的问题，属于常规题型.19.如图所示，在直三棱柱中，为正三角形，是的中点，是中点（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】连接，利用中位线得线线平行，进而得线面平行；设底面边长为a，转化三棱锥的顶点为M，利用体积不难列出方程求得a值【详解】解：证明：连接 C，是的中点，又N是的中点， C，又平面， 平面，平面解：，是的中点，到平面的距离是C到平面的距离的一半，如图，作交AB于P，由正三棱柱的性质，易证平面，设底面正三角形边长为a，则三棱锥的高，解得故该正三棱柱的底面边长为【点睛】此题考查了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中20.已知函数（其中，为常数）在处取得极值（1）当时，求的单调区间； （2）当时，若在，上的最大值为1，求的值【答案】（1）的单调递增区间为,， 单调递减区间为 (2)【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据其在处取得极值，得到，得到关于的等量关系式，将代入，得到，从而求得，之后列表得到函数的变化趋势，从而求得函数的单调区间；（2）对函数求导，令，得到，根据在 处取得极值，且，从而得到函数在相应区间上的单调性，得到函数的最大值点，代入，得到.【详解】（1）因为所以 因为函数在处取得极值 当时，随的变化情况如下表：00 极大值 极小值所以的单调递增区间为,， 单调递减区间为 (2)因为，令, 因为在 处取得极值，且, 所以在上单调递增，在上单调递减, 所以在区间上的最大值为，令，解得【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的求导公式，函数的极值，函数的单调区间，以及函数在某个区间上的最值问题，注意正确把握题的条件是解题的关键.21.已知椭圆C：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点求证：直线的斜率为定值【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出椭圆离心率，代入点P坐标，结合可解出a，c，从而求出椭圆方程；（2）结合图像观察两直线和圆，易发现两直线l1，l2的斜率存在，且k1k2，设出直线l1的方程联立椭圆方程，求出点M坐标，同理求出点N坐标，然后计算化简得其斜率为定值.【详解】（1）双曲线的离心率为，可得椭圆C的离心率为，设椭圆的半焦距为c，所以，因为C过点P，所以，又，解得a2，c1，所以椭圆方程为；（2）显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆（）相切，则有k1k2，直线l1的方程为，联立椭圆方程，消去y，得，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以，同理，当l2与椭圆相交时，所以，而，所以直线MN的斜率；【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的离心率与方程，直线与椭圆的位置关系，