第一轮复习数学：7.1直线的方程

第七章直线和圆的方程网络系统概述低测试点目标定位(1)理解直线斜率的概念，掌握直线通过两点的斜率公式，掌握直线方程的点斜、两点和一般表达式，能根据条件熟练求解直线方程。(2)掌握两条直线平行和垂直的条件，两条直线形成的角度以及点到直线的距离公式，能够根据直线方程判断两条直线之间的关系。(3)理解二元二次不等式代表一个平面区域。(4)理解线性规划的含义并简单应用。(5)理解解析几何和坐标法的基本思想。(6)掌握圆的标准方程和一般方程，理解参数方程的概念，理解圆的参数方程。低评论策略指南1.本章主要考察高考中的两类问题：基本概念与不同条件下线性方程组的求解。基本概念着重考察：(1)与线性方程特征值相关的问题(主要指斜率和截距)；(2)直线的平行和垂直条件；(3)与距离相关的问题等。这些问题大多是中低年级的。它们以选择题和填空题的形式出现。它们必须每年测试一次。虽然考试大纲中没有提到中心对称和轴对称问题，但它们也是高考的重点。复习时也应该掌握好。2.综合试题很难以答案的形式出现，如直线与圆和圆锥曲线之间的位置关系(下一章重点复习此类问题)。3.因为初等函数的图像是一条直线，代数问题如函数、序列、不等式、复数等。通常用直线方程求解来检验学生的综合能力和创新能力。复习本章时应注意以下几点：1.为了能够区分有向线段和无向线段的概念之间的混淆，有向线段的数量和有向线段的长度之间的混淆，是否区分这两点是学好有向线段的关键。2.在回答有关直线的问题时，要注意(1)在确定直线的斜率和倾角时，首先要注意斜率存在的条件，然后要注意倾角的范围；(2)使用截距型直线解决问题时，应注意防止因“零截距”而导致解的丢失；(3)用直线的点斜型和斜截面型解决问题时，应注意不存在坡度的情况，防止解的丢失；(4)在解决分割和对称问题时，应灵活使用定点公式和中点坐标公式，以简化计算。(5)掌握对称问题的四种基本解法；(6)根据两条直线的位置关系确定相关参数的值或范围时，应充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本数学思维方法。7.1直线方程知识梳理1.直线的倾角、斜率和方向向量(1)直线倾角在平面直角坐标系中，对于与x轴相交的直线，如果x轴绕交点逆时针旋转以与直线重合时的最小正角表示为，则称为直线的倾角。当直线和x轴平行或重合时，我们指定直线的倾斜角为0。可以看出，直线倾角的取值范围为0 180。(2)直线斜率倾斜角不是90的直线，其倾斜角的切线称为该直线的斜率，通常用k表示，即k=tan(=90)。倾角为90的直线没有斜率；倾斜角不为90的所有线都有斜率，其值范围为(-，)。(3)方向向量对于直线上的任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾角=90；当x1x2时，直线的斜率存在且为实数，当k0时，=arctank，当k 0时，= arctank。2.线性方程的五种形式(1)斜截面类型：y=kx b。(2)点倾斜类型：y-y0=k (x-x0)。(3)两点公式：=。(4)截距公式：=1。(5)通式：AxC=0。点击双基1.直线xtan y=0的倾角为A.-华盛顿特区分析：k=-tan=tan (-)=tan和 0，。回答：d2.穿过X轴上两点(-1，1)和(3，9)的直线的截距是A.-英国-华盛顿特区2分析：找到(-1，1)，(3，9)点的直线方程，得到y=0。答：答3.直线XCOS Y 2=0的倾角范围为A.，(，B.0，)C.0，D.，分析：让直线的倾角为，然后tan =-cos 。和-1 cos 1，-tan.0,).回答：b4.直线y=1和直线y=x 3之间的角度是_ _ _ _ _ _。解决方案1:L1:y=1和L2: y=x3的斜率是k1=0和k2=1。tan =| |=，由两条直线的角度公式获得，因此两条直线之间的角度为60。解决方案2:由l1和l2表示的图像是(如下图所示)y=1平行于x轴，y=x 3以60倾斜于x轴，因此y=1和y=x 3之间的角度是60。回答：605.以下四个命题：通过固定点P0(x0，y0)的直线可以用方程y-y0=k (x-x0)表示；(2)穿过任何两个不同点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线可以由等式(X2-X1) (X-X1)=(Y2-Y1) (Y-Y1)表示；(3)不穿过原点的直线可以由等式=1表示；(4)通过固定点A(0，b)的直线可以用等式y=kx b来表示A.0 B.1 C.2 D.3分析：对于命题 ，方程不能表示倾角为90的直线。对于命题，当直线平行于坐标轴时，坐标轴上直线的截距不存在，因此截距公式不能用来表示直线。只有是正确的。回答：b典型案例分析例1已知ABC的三个顶点是A(3，-4)，B (0，3)，C (-6，0)，并找到其三条边的线性方程。分析：直线方程可以写成多种形式，如点斜、斜截面、两点式、截距式和一般式。使用时，应根据主题给出的条件适当选择某种形式，以便使解决方案简单。从顶点b和c的坐标可以知道，点b在y轴上，点c在x轴上，所以BC侧的直线方程用截距式表示，AB侧的直线方程用斜截式表示，AC侧的直线方程用两点式或点斜截式表示，最后统一成一般的直线方程解决方案：如下图所示，由于ABC的顶点B和C的坐标分别为(0，3)和(-6，0)，点B在Y轴上，点C在X轴上，即直线BC在X轴上的截距为-6，而在Y轴上的截距为3。利用截距公式，直线BC的方程为=1。通式为x-2y6=0。由于点b的坐标是(0，3)，直线AB在y轴上的截距是3。利用斜截距公式，直线AB的方程是y=kx 3。通过顶点A(3，-4)，所以-4=3k3。所以k=-.因此，直线AB的方程是y=-x3，其被简化为通式7x3y-9=0。由(3，-4)，c (-6，0)，得到直线的斜率.利用点斜公式获得直线交流的方程为y-0=-(x 6)，通式为4x 9y 24=0。两点公式也可用于获得直线交流方程，如下=，再次简化它。注释：本主题研究寻找线性方程的基本方法。例2已知两条直线a1x b1y 1=0和a2x b2y 1=0的交点为P (2，3)，得到两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1a2)的直线方程。分析：使用点倾斜或直线和方程的概念来解决。解答：p (2，3)在一条已知的直线上。2a1 3b1 1=0，2a2 3b2 1=0。 2 (A1-A2) 3 (B1-B2)=0，即=-。直线方程是y-B1=-(x-a1)。 2x3y-(2a1 3b1)=0，即2x 3y 1=0。注释：这种方法使用了整体替换的思想，非常巧妙。思考和讨论根据“两点决定一条直线”，你有新的解决办法吗？提示：由2a1 3b1 1=0，2a2 3b2 1=0，我们知道Q1和Q2在23y 1=0的直线上。例3直线通过点P (3，2)并分别满足下列条件，得到直线方程：(1)倾角是直线x-4y3=0的两倍；(2)X轴和Y轴的正半轴相交于点A和B，且AOB的面积最小(O为坐标原点)。分析：(2)取面积作为截点A和截点B的函数，求出该函数的最小值。解决方法：(1)如果期望直线倾角是，且如果直线倾角是，=2，tan=tan2=，tan=tan2=，等式是8x-15y6=0。(2)让线性方程为=1，a 0，b 0，代入p (3，2)得到=1 2，ab24。所以s AOB=ab 12，这时，k=-=-.方程是2x3y-12=0。注释：这个问题(2)也可以转换成关于a或b的一元函数，然后得到它的最小值。深化扩张如何找到|PA|PB|和|OA| |OB|的最小值？提示：它可以像问题(2)一样解决。入职培训坚实的基础1.直线x-2y2k=0和两个坐标轴围成的三角形面积不大于1，则k的范围为A.k-1B.k1C-1 k 1，k0D.k -1或k1分辨率：使x=0，得到y=k；如果y=0，x=-2k。三角形面积s=| xy |=k2。S1，即k21，-1k1.当k=0时，它不适合这个问题，所以选择c。答：c2.(湖南，2004，2)如果直线ax与c=0的倾角为，且sin cos=0，则A和B满足a . a . b=1 b . a-b=1 c . a . b=0d . a-b=0分析：0 180，sin cos=0，=135，8756；a-b=0。回答：d3.(北京，2004年春)直线的倾角X-Y=0(是一个实常数)是_ _ _ _ _ _ _。分析：k=，即tan=。=30.回答：304.(北京市东城区目标检测，2005)如果直线l1: X-2Y3=0已知，则直线l1的方向矢量a1为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(注：只写正确答案)；如果l2与点(1，1)相交，并且l2的方向向量a2和a1满足a1a2=0，则l2的等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：a1由方向向量定义为(2，1)或(1)。A1a2=0，即a1a2.那是l1l2，那是k1k2=-1。l2的等式是2xy-3=0。回答：(2，1)或(1)，2xy-3=05.假设直线L的斜率为6，由两个坐标轴切割的线段的长度为，则得到直线L的方程。解1:让直线l的方程为y=kx b。k=6，等式为y=6x b。设x=0，y=b，与y轴的交点是(0，b)；设y=0， x=-，x轴的交点是(-，0)。根据毕达哥拉斯定理(-) 2 B2=37， b=6。因此，直线l的方程式是y=6x6。解决方案2:如果期望的直线是=1，那么与X轴和Y轴的交点分别是(a，0)，(0，b)。根据毕达哥拉斯定理，A2 B2=37。k=-=6，解这个方程组是可行的a2+b2=37，-=6。或者a=1，a=-1，b=-6 b=6。因此，直线l的方程是x=1或-x=1，即6x-y6=0。6.在ABC中，点A(5，-2)和B (7，3)是已知的，边AC的中点M在Y轴上，边BC的中点N在X轴上。(1)找到点C的坐标；(2)求出直线MN的方程。解决方法：(1)设定点C(x，y)，从问题的意义=0，=0，x=-5，y=-3。因此，点C的坐标是(-5，-3)。(2)点m的坐标为(0，-)，点n的坐标为(1，0)，直线MN的方程为=，也就是说，5x-2y-5=0。培养能力7.一家房地产公司想在废弃的ABCDE(如下图)上划出一个长方形的地面(不改变方向)来建造一栋八层的公寓楼，并询问如何设计来最大化公寓楼的建筑面积。并获得最大面积。(精确到1 m2)解决方案：如下图所示，取线段AB上的点P，分别画一个垂直于圆和圆的矩形地块，并建立一个如下图所示的直角坐标系，这时ab的方程为=1。设定P(x，20-x)，然后矩形面积s=(100-x) 80-(20-x) (0 x 30)。减少的s=-x2 x 6000 (0 x 30)。对于公式，当x=5和y=容易得到时，s最大，其最大值为6017 m2。8.给定点P(1，-1)，直线l的方程是x-2y1=0。找到通过点p的直线方程，倾角是直线l倾角的一半。解决方法：如果直线的倾角是，那么直线的倾角是通过知道直线的斜率是tan=和公式tan=得到的。tan2 2tan-1=0。晒成棕褐色.因为tan=，和01，所以0，0。所以请说。所以直线的斜率是k=tan=-.所以直线方程是y-(-1)=(-) (x-1)，也就是(-) x-y-(-1)=0。(物理学)让直线l的方程为21