第八讲概率与统计

第八讲 概率与统计陕西特级教师 安振平l 高考风向标1. 概率主要考查：随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验2. 概率与统计主要考查：离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归l 典型题选讲例1从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：（）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.讲解（）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为 1,（）甲、乙被选中且能通过测验的概率为 点评 本题是2004年全国高考文科试题，主要考查组合、概率的基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际问题的能力需要考生分清题型，正确运用相关的公式，掌握“至多”“至少”类问题处理方法例甲乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲 射手乙击中环数8910概率0.20.60.2击中环数8910概率0.40.20.4 试用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平讲解 直接应用课本上的公式，得E甲80.290.6100.29D甲(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4E乙80.490.2100.49D乙(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8由此可知，E甲E乙9，D甲D乙，从而两名射手射击的环数平均值都是9环，但乙射手射击环数的集中度(稳定性)不如甲射手点评有关期望与方差的解答试题一般在理科卷中出现似乎有这样一种迹象，文科考试的重点是概率，而理科则是统计部分的知识 数学54321英语5131014107513210932160100113例右表为某班英语及数学成绩的分布学生共有50人，成绩分15五个档次例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英语成绩为，数学成绩为设为随机变量（注：没有相同姓名的学生）（）的概率为多少？的概率为多少？（）等于多少？若的期望为，试确定，的值 讲解 表格试题是考试当中的一个很有特色的试题，展现了命题设计的新颖性（1）（2）又结合可得，点评概率试题的计算一般是比较复杂的，需要细心、认真才不会出错的，这点要千万当心！请记住：细节决定成败例 将一颗骰子掷n(n2)次，求所得点数的最大值为5且最小值为2的概率讲解 在计算本例概率时要明白在掷了n次骰子后，6点与l点均不出现但是5点和2点均要出现，根据此并利用间接法即可求得本例的概率掷n次骰子，不出现1点与6点的概率是()n=()n；掷n次骰子，不出现1点、6点及5点的概率是()n=()n；掷n次骰子，不出现1点、6点及2点的概率是()n=()n； 掷n次骰子，不出现1点、6点、2点及5点的概率是()n=()n 掷n次骰子，所得的点数的最大值为5且最小值为2的情况应该是不出现1点与6点，并且要出现2点与5点因此，所求的概率为 ()n - ()n - ()n + ()n = .点评 通过本题的解答，需要搞清楚：不出现某些点与只出现余下的点是不同的如不出现1点、6点、2点及5点与只出现3点和4点是不同的不出现1点、6点、2点及5点的概率为()n，而仅出现3点和4点的概率为()n-2()n例 口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为（）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（）求随机变量的期望 讲解 （）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6因为P（=2）=；P（=3）= P（=4）=；P（=5）=； P（=6）=；所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大（）E=点评分类处理是数学解题的一种重要的思想方法，分类其实是在简化了问题难度，将问题转化为几个小的问题来解决的，当中的奥妙是因题而异的例 某工厂规定，如果工人在一个季度里有一个月完成生产任务，可得奖金元；如果有个月完成生产任务，可得奖金元；如果有个月完成生产任务，可得奖金元；如果工人三个月都未完成生产任务，则没有奖金假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望 讲解 设该工人一个季度里所得奖金为，则是一个离散性随机变量，由于该工人每月完成任务与否是等可能的，所以他每月完成任务的概率等于，（元）点评先按步计算，再合成所要求的解题目标当中的思维是清晰、明快的l 针对性演练一 选择题1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0，则该组的频数为（）2一个容量为的样本，数据的分组几个组的频数如下：则样本在区间上的频率为（）已知的分布列为：且设设是离散性随机变量，的值为（） 率频组距体重（g）2400 2700 3000 3300 3600 39000.00观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如右下图所示，则新生婴儿的体重在（ ）.A. 06.一个容量为的样本数据，分组后，组距与频数如下：则样本在 上的频率为（）B. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率均为，现共有发子弹，命中后尚余子弹数的期望为（）某学校有六个年级，人数分别为200、200、180、150、150、120，为加强学校民主化管理，拟就某项重大决策进行问卷调查，样本容量为100，下列做法符合统计学原理的是( ).A午餐时间在食堂随意选定100人B先广播通知，然后在学生会门口将调查卷发给前100位来领取表格 的同学C把全校学生编码，用计算机随机抽取100人，发给调查卷D把调查卷分给各年级，数目如下：20、20、18、15、15、12由各年级给本年级学生编码，用计算机随机抽取相应数目，发给问卷 9有一笔统计资料，共有个数据如下（不完全以大小排列）、x ,已知这组数据平均数为，则这组数据的方差为（）。0.设随机变量服从正态分布:等于 ( ).2 3 4.76 5二填空题11已知某离散性随机变量的数学期望，的分布列如下：a b 则a= . 0.040.0350.030.0250.020.0150.010.005分数率频组距统计某校名学生的数学会考成绩， 得到样本频率分布直方图如右，规定不低于 分为及格，不低于分为优秀，则及格率是优秀人数是8 9 10 11 12 130.400.250.150.10频率时间某商场在某天的促销活动中，对上午时至下午时的销售额进行统计，其频率分布直方图如右图所示已知时至时的销售额为.万元，则时至时的销售额为 万元有一批产品，其中有件正品和个次品，从中任取件，若表示取到次品的个数，则 5某学校有教师 人，其中高级教师人，中级教师人，处级教师人，为了了解教师健康状况，从中抽取人一个样本，用分层抽样方法抽取高级教师、中级教师、处级教师人数分别是 6 .为了解老百姓对所谓台湾公投的态度，某记者拟分别从某大型单位岁,40岁,1825岁三个年龄中的800人,1200人,1000人中,采取分层抽样的方法进行调研,在5060岁这一年龄段中抽查料40人,那么这次调研以共抽查了 .7甲、乙、丙、丁四位同学去书店购买编号为，的本不同的书，为节约起见，他们约定每人只购买其中本，再互相传阅，如果任两人均不能买全这本书，任人均能买全这本书，其中甲购买数的号码是，乙购买书的号码事，丙购买书的号码是，时，尉缭满足上述要求，丁应买的书的号码是 8将参加数学竞赛的名学生编号如下：，打算从中抽取一个容量为那的样本，按系统抽样的方法分成个部分，如果第一部分编号为，第一部分随机抽取一个号码为，则抽取的第个号码为19设甲，乙两种灯泡的寿命（单位：小时）的分布列分别为：900100011000.10.80.1950100010500.30.40.3则两种灯泡中质量较好的一种是 .乙棉农甲 68 70 73 69 71棉农乙 69 71 70 69 70棉农丙 69 72 71 70 7320. 甲、乙、丙三位棉农种植的棉花，连续五年的单位面积产量（千克/亩）统计如下表：则产量较稳定的是棉农 . 二 解答题2 设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数，求：（1）的概率的分布列及期望E; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有部电话占线.试求随机变量的概率分布和它的期望.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图316所示。随机选取一个成员。（1）他属于至少.2个小组的概率是多少？（2）他属于不超过2个小组的概率是多少？某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图（例如，ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）（1）请你为其选择一条由A到B的路线，便得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E参考答案一、选择题1B. 2。B. 3。B. 4。C. B.D.C.D.A. C.二、填空题80%,80.，.乙乙三解答题21. （1）的所有可能值为0，1，2，3，4用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，则P（AK）=独立.故， 从而有分布列：01234P.（2）.答：停车时最多已通过3个路口的概率为.P(=0)=0.520.62=0.09. P(=1)= 0.520.62+ 0.520.40.6=0.3 P(=2)= 0.520.62+0.520.40.6+ 0.520.42=0.37. P(=3)= 0.520.40.6+0.520.42=0.2 P(=4)= 0.520.42=0.04于是得到随机变量的概率分布列为：01234P0.090.30.370.20.04所以E=00.09+10.3+20.37+30.2+40.04=1.8.（1）从图上可以看出，三个课外兴趣小组总人数为60。用A表示事件“选取的成员只属于一个小组”，则就表示“选取的成员属于至少两个小组”，于是，P()=1P(A)1 因此，随机选取的一个成员属于至少两个小组的概率是60（2）用B表示事件“选取的成员属于3个小组”，则就表示“选取的成员属于不超过2个小组”，于是P()=1P(B)1，所以，随机选取的一个成员属于不超过2个小组的概率是（1）记路段MN发生堵车事件为MN因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率P1为1P（）= 1P（）P（）P（） = 11P（AC）1P（CD）1P（DB）=1 =同理：路线ACFB中遇到堵车的概率为P2为1P（