第五课时任意角的三角函数一

第五课任意角度的三角函数(1)教学目标：理解和掌握任意角三角函数的定义，理解和掌握各象限中各种三角函数的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦和正切函数的域；通过对任意角三角函数的定义，学生可以理解锐角三角函数是任意角三角函数的特例，加深对特殊与一般关系的理解。教学重点：任意角度三角函数的定义，正弦、余弦和正切函数的定义域。教学中的困难：正弦、余弦和正切函数的域。教学过程：一、专题介绍初中时，我们学习了锐角三角函数，它是一个以锐角为自变量，以边长比为函数值的三角函数。在我们面前，我们扩展了对角线的概念，学习了弧线系统。我们知道，这组角度与这组实数一一对应。在此基础上，今天我们将研究任意角度的三角函数。二。新课程教学对于锐角三角函数，我们定义为直角三角形。今天，对于任意角度的三角函数，我们用平面直角坐标系来研究。假设是一个任意的角度，其顶点在原点，其起始边在x轴的正半轴上，并且的结束边上的任何点p的坐标是(x，y)(非顶点)。它离原点的距离是r (r= 0)注：(1)今后，我们将研究平面直角坐标系中的角度问题。它的顶点都在原点，它的初始边与X轴的正半轴重合。(2)OP是角度的最后一条边。至于它转了多少圈，还不清楚它会向哪个方向旋转。只有这样，才能证明角度是任意的。(3)只要角度的最终边缘不落在坐标轴上，它只能是一个象限角度。(4)角度的最终边缘不落在坐标轴上，但落在坐标轴上的情况是一种特殊情况。我们将在研究这个问题的过程中讨论它。然后，(1)比值被称为的正弦，它被称为sin，也就是sin =。(2)该比值称为的余弦，称为cos，或cos =。(3)该比值称为的正切，称为tan，即tan =。上述三个函数统称为三角函数。在所确定的角度的最终边缘上的任何点P的坐标是可变的，并且它距原点的距离R也是可变的。这三个变量的三个比率是确定的还是改变的？根据相似三角形的知识，对于最终边不在坐标轴上的角，上述三个比值不会随着最终边上P点位置的变化而变化。当角度的最后一条边在纵轴上时，即=k (k z)，最后一条边上任意点P的横坐标X为0，所以正切是没有意义的。另外，对于确定的角度，上述三个比值是唯一确定的实数，也就是说，正弦、余弦和正切都是有角度的自变量。注：(1)sin是一个整数符号，不能视为“sin”和“”的乘积。其他两个符号也是如此。(2)定义只说什么比叫做的什么函数，而没有说的端边在哪里(除了坐标轴上的端边)，也就是说，函数的定义与的端边位置无关。(3)比值只与角度有关。我们已经给出了任意角度三角函数的定义。请考虑并比较任意角度三角函数的定义和锐角三角函数的定义。联系和区别是什么？正弦函数值是纵坐标比的距离，余弦函数值是横坐标比的距离，正切函数值是纵坐标比的距离。由于角度集和实数集r是一一对应的，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数。我们知道函数有三个元素，即定义域、值域和对应规则。接下来，我们将研究正弦、余弦和正切函数的域。范围问题将在后面研究。对于正弦函数sin=，因为r 0，它总是有意义的，也就是说，取任何实数并且总是有意义的，也就是说，sin总是有意义的，所以正弦函数的定义域是r；同样，余弦函数的定义域也可以写成。对于正切函数tan=，因为当x=0时，它是无意义的，即tan是无意义的，并且只有当且仅当角度的末端边缘落在纵轴上时，它才是x=0，所以当的末端边缘不在纵轴上时，它总是有意义的，即tan总是有意义的，因此正切函数的域是 k (k z)。出于几何表示的需要，让我们先来看单位圆的概念：以原点为中心，单位长度为半径的圆称为单位圆。单位长度，例如1 cm、1 dm、1m、1 km等。都是1个单位长度。虽然它们的单位不同，但它们的长度都是1个单位。也就是说，单位圆的半径是1(单位长度)。在平面直角坐标系中，制作一个单位圆，任一角度的顶点设在原点，起始边与x轴的非负半轴重合，结束边与单位圆在点P(x，y)相交，x轴的正半轴与单位圆在点a (1，0)相交，垂直于x轴的方向通过P，垂足为m；如果将作为单位圆的切线，该切线必须平行于Y轴(两条垂直于同一条直线的直线是平行的)，并设置为在点T处与角度的末端边缘或其反向延长线相交.显然，线段OM的长度是| x |，而线段MP的长度是| y |。他们只能接受非负值。当角的最后一条边不在坐标轴上时，我们可以把OM和MP看作有方向的线段。如果x 0，则OM与x轴方向相同，此时OM具有正值x。如果x 0，MP被认为与y轴方向相同，此时MP具有正值y。如果y 0，则认为MP与y轴相反，并指定此时MP具有负值y，因此在任何一种情况下，MP=y。如上所述，OM和MP都是有向线段。该被认为具有方向的线段被称为有向线段(即，指定了起点和终点)。在它们的长度上加上加号或减号。这样获得的数称为有向线段数，并表示为ab因此，根据正弦和余弦函数的定义，有sin=y=MPcos=x=OM与单位圆相关的这两个有向线段MP和OM分别称为角度的正弦和余弦线。同样，我们把OA和AT看作有向线段，然后根据正切函数和相似三角形的定义知识意味着tan =at这个与单位圆相关的有向线段称为角度的切线。注：(1)当角度的最后一条边在Y轴上时，余弦线变成一个点，切线不存在。(2)当角度的最后一条边在X轴上时，正弦线和切线成为点。(3)正弦线、余弦线和切线都是与单位圆相关的有向线段，所以在制作一定角度的三角函数线时，必须先制作单位圆。(4)线段有两个端点。当用字母表示正弦线、余弦线和切线时，先写开始字母，然后写结束字母。这是不可逆转的。换句话说，有原点的线段以原点为起点，没有原点的线段以该线段和x轴的公共点为起点。(5)三个方向线段的正负与坐标轴的正负方向一致，三个方向线段的个数与三个三角函数的值相同。正弦线、余弦线和切线统称为三角函数线。三。实例分析例1给定角度的终端边缘通过点P(2，-3)(如图所示)，得到的三个三角函数值。解决方案：x=2，y=-3r=所以sin=-cos=tan=-示例2找出下列角度的三个三角函数的值。(1)0 (2) (3)解决方法：(1)因为当=0，x=r，y=0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0(2)因为当=，x=-r，y=0时，所以sin=0 cos任意角度三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线和法线切线的定义。这三条三角函数线都是特殊的有向线段。它们之所以特殊，是因为它们平行于(或重合于)坐标轴，并与单位圆相关。这些线段可以分别表示相应三角函数的值，因此它们是三角函数的几何表示。六.课后作业教科书P23练习1，2，3。任意角度的三角函数(1)1.1.sin1、cos1和tan1的大小关系是()a . tan 1 cos 1 sin 1 b . sin 1 cos 1 tan 1c . sin 1 tan 1 cos1 d . cos1 sin 1 tan 12.如果已知角度的正弦线和余弦线是具有相同长度和一个正方向和一个负方向的有向线段，那么的终端边缘在()A.在第一象限角平分线b上。在第二象限角平分线b上C.在第二或第四象限角平分线上3.如果，则以下情况成立()a . costansinb . sincostanc . tansincosd . cossintan4.如果点p (-3，y)是角端边上的一个点，且sin =-，则y的值是_ _ _ _ _ _。5.假设角的末端边缘上的点p的坐标是(4a，3a) (a 1。任何角度的三角函数(1)答案1.D 2。C 3。D 4。- 5。- 6。-37.已知角的最后边缘上的点P的坐标是(x，-2) (x 0)，并且cos =，并且获得sin和tan的值。分析：r=，cos =，即rx=3x因为x0， r=3x2+4=9 x2=5，x=。当x=点p的坐标为(，-2)时。sin=-，tan=-。当x=-时，点p的坐标为(-，-2)sin=-，tan=。答：当x=sin =-，tan=-当x=-sin =-时，tan =8.知道在角的末端边