等面四面体的一组充要条件新课标人教

等边四面体的一组充要条件http:/www。DearEDU.com邵世界(江苏江浦高级中学211800)等面四面体是指三组相对的边分别对应同一四面体的四面体。等边四面体有两个充要条件：(1)四面体四个面的面积都相等。(2)四面体四边的周长都相等。在这里，我将给出另一组等边四面体的充要条件。定理1四面体是等边四面体的充要条件是四面体的外切球心与内切球心重合。ABCD图1证明(1)充分性(如图1所示)因为从四面体的边到内接球体中心的距离是相等的，所以它们的平面和外接球体的交点是一个相等的圆。由于等圆内同一弦的圆周角相等，根据三角形内角和定理-z=y-=z-，z=，让BAC=BDC=， ABC= ADC=， ACB= ADB=， DBA= DCA=x， dab= DCB=y， DAC= DBC=z， = y z= z x= x y= , 类似地，可以得到=x，=y，所以每个面都是全等三角形(有一条公共边)，所以这个四面体是全等四面体。(2)必要性(如图2所示)ABCDEGF图2假设e是球接收球的中心，Ef 平面ACD在f，例如平面BCD在g，显然f和g分别是 ACD和 BCD的中心。因为等边四面体的每一面都是全等的三角形，所以它的外切圆的半径是相等的，df=DG, e与表面ACD和表面BCD等距。同样，可以证明E与其他曲面之间的距离是相等的。那么e也是四面体的内切球心，即等边四面体的外接球心重合。定义：将四面体的顶点与相对三角形的重心连接起来，得到的四条线段必须有一个公共点，这个点称为四面体的重心。容易证明：从四面体的重心到四面体顶点的距离是相对三角形重心距离的三倍。定理2四面体是等边四面体的充要条件是四面体的外接圆的中心与四面体的重心重合。ABCDEFNMO图3证明(1)充分性(如图3所示)设O为四面体ABCD的外切球的中心和重心，连接AO和BO的延长线分别与E和F相交，则E和F分别为 BCD和 ACD的重心，因此AF和BE延长线必须相交于CD的中点M。连接MO并将十字AB延伸至n(如图4所示)* of=ob=OA=OE，OA=OB，FOA=eob， foa eob，FA=EBMFEABNO图4HMA=FA=EB=MB，OA=OB，MO必须垂直划分AB，即MNAB，AN=BN是NH MB在h处与AO交叉， n是AB的中点，然后h是AE的中点，OH=AO-AH=AE-AE=AE=OE， NH MB，mo=no，并且 oc=od，m是CD的中点，OMCD，,同样如此(2)必要性(如图3和4所示)假设O是等值面四面体ABCD的重心，连接AO和BO的延长线分别与E和F相交，那么E和F分别是 BCD和 ACD的重心，所以AF和BE延长线必须相交于CD的中点M。四面体ABCD是等边四面体， ACD BDC，对应的中线AM=BM，MF=MA=MB=ME和mae=mbf的bmf=ame，以及OAB=OBA的mab=MBA，即OA=OB。同样，可以证明OA=OC=OD，所以O也是等边四面体的外切球心，即等边四面体的外切球心与重心重合。定理3四面体是等边四面体的充要条件是四面体的内切球的中心与四面体的重心重合。ABCDFEE2E1O图5证明(1)充分性(如图5所示)设O为四面体ABCD内切球的中心和重心，连接AO和BO的延长线分别与E和F相交。然后，当OE1在E1中面对BCD，AE2在E2中面对BCD，OF1在F1中面对ACD，BF2在F2中面对ACD时，很容易证明：oe1ae2，8756；同样，可以证明：和o是四面体ABCD 8756的内切球心；OE1=OF1，8756；AE(2)必要性：定理1和2的必要性可以立即推导出来。因为任何给定的四面体都不一定有垂直中心(四个高度的交点)，它需要“三组互相垂直”的条件，因此，与等边四面体的垂直中心相关的必要和充分条件稍微复杂一些。ABCDEFNMO图3定理4如果一个四面体有一个垂直度，那么当且仅当四面体的垂直度与外接球体的中心重合时，这个四面体就是一个等边四面体。证明(1)充分性(如图3所示)设O为四面体ABCD的外接圆的中心和垂度，将AO延伸交点BCD连接到E，将BE延伸交点CD连接到M，将BO延伸交点AM连接到F，将MO延伸交点AB连接到N，o是四面体ABCD的垂直度，那么AE 平面BCD，BF 平面ACD，AE BM，BF am，o是 ABm，Mn ab的垂直度，o是四面体ABCD的外切球心，OA=ob，o垂直等于ab，ma=MB，BF=AE(面积法)， s ACD=sABCDEFNMO图3(2)必要性(如图3所示)设o为等边四面体ABCD的垂直度，将AO延伸交点BCD连接到e，将BE延伸交点CD连接到m，将BO延伸交点AM连接到f，然后AE 平面BCD，BF 平面ACD，AE 平面CD，BF 平面CD，CD 平面MAB，CD AM，CD BM和四面体ABCD为等边四面体，ACDBDC，此外，CDBM和8756；BC=BD，同样，可以证明，如果这个四面体的每个边长相等，那么这个四面体就是一个正四面体，它的垂直中心、重心、外切球中心和内切球中心都重合。定理5如果一个四面体有一个垂直度，四面体是等边四面体的充要条件是四面体的垂直度与内切球的中心重合。证明(1)充分性(如图3所示)让o为四面体ABCD的内切球中心和垂直中心，连接AO延伸交点BCD到e，连接BE延伸交点CD到m，连接BO延伸交点AM到f，然后AE 平面BCD，BF 平面ACD，AE BM，BF AM，87561；o是 ABM的垂直中心， O是四面体ABCD的外切球中心，OE=OF，OM平分AMB，o omab，MA=MB，BF=AE(面积法)，sACD=sBCD(体积法)，同样，可以证明s ACD=s ABC=s ABD，四面体是等边四面体。(2)必要性：必要性的证明见定理4。定理6如果一个四面体有一个垂直度，那么当且仅当它的垂直度与其重心重合时，这个四面体就是一个等边四面体。证明(1)充分性(如图3所示)让o为四面体ABCD的重心和垂直度，将AO延伸交点BCD连接到e，将BE延伸交点CD连接到m，将BO延伸交点AM连接到f，然后AE 平面BCD，BF 平面ACD，AE BM，BF AM，以及 AOF= BOE，aof=BOE， O为