第二轮第10讲不等式问题的题型与方法

第十不等式不等式的这一部分知识渗透到中学数学的各个分支中，有着非常广泛的应用。 因此，不等式的应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，通过数学各部分的知识，发挥了很好的促进作用。 解决问题，必须根据问题选择与结论的结构特征、内在联系、适当的解决方案，最终归结为不等式的解决和证明。 不等式的应用范围很广这在中学数学中是一致的。 例如，对集合问题、方程(组)解的讨论、函数单调性的研究、函数定义域的确定、三角、数列、复、立体几何、解析几何中的最大值、最小值的问题不与不等式密切相关，许多问题最终可以导致不等式的求解或证明。一、知识整合1 .求解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质是不等式变形的理论依据，方程式的根、函数的性质和图像与不等式的解法密切相关，应善于把它们有机地联系起来，善于相互转化。 在求解不等式中，换元法和图式解法是常用的技法之一2 .公式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是求解不等式的基础，利用不等式的性质和函数的单调性，将公式不等式、绝对值不等式等分类为公式不等式(组)是求解不等式的基本思想，分类、源、数形结合是求解不等式的常用方法3 .不等式求解中，变换元法和图解法是常用的技术之一，通过源，可以将复杂的不等式分类为相对简单或基本的不等式，通过构造函数，可以将不等式的分解分类为直观、图像的图像关系，对于包含参数的不等式，使用图解法，使分类基准更加明确4 .证明不等式的方法多种多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。 要根据问题设置、问题断裂的结构特征和内在联系，选择合适的证明方法，必须熟悉各种证据法的推理思维，掌握相应的步骤、技巧和语言特征。 比较法的一般步骤是判断差(商)变形符号(值)5 .证明不等式的方法多样，内容丰富，技巧性强。 在证明不等式之前，根据问题设置和待证明不等式的结构特征、内在联系，必须选择合适的证明方法，相反，也可以从明显众所周知的不等式开始，经过一系列运算，导出所证明的不等式。 前者是“因果因素”，后者是“因果因素”，是联系的渠道，证明时并用分析综合法，从两面夹击，互补，多达想要证明的目的。6 .不等式的应用问题体现了一定的综合性。 此类问题大致可分为两类：一类是建立不等式，解决不等式，另一类是建立函数公式求最大值或最小值。 在利用平均值不等式求函数的最大值的情况下，特别要注意“等于正数、值”这三个条件是必不可少的，为了满足这三个条件，有时需要适当的拼凑。 利用不等式求解问题的基本步骤：1.审查问题，2 .建立不等式模型，3 .求解数学问题，4 .解答。7 .通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，加深数学知识之间的融通，提高问题解决能力。 在运用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质和创新意识。二、方法技巧1 .求解不等式的基本思想是转化、化归，一般转化为最简单的一次不等式(组)或一次二次不等式(组)求解。2 .求解包含参数的不等式时，应特别注意运用数学结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想。3、不等式的证明方法有很多种，要注意各种证明法的适用范围，在掌握常规证明法的基础上，选择一些特殊的技术。 用收缩法证明不等式时，应注意调整收缩程度。4 .根据主题结构的特点，实行成果的原因，往往是有效的想法。三、例题分析b)M对于m和m中的其他元素(c，d )，始终为ca，a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：阅读和阐明问题的数学本质是解决这个问题的突破口。 如何理解“m的其他要素(c、d )总是有ca”？ m的元素有什么特点？解：由问题可知，本问题与求出函数x=f(y)=(y 3)|y-1| (y 3)等价(2)1y3时在y=1情况下，为=4.简单评价：问题设定条件中出现集合形式，必须认识集合要素的本质属性，并结合条件公布其数学本质，即集合m中的要素满足关系式。例2 .已知非负实数，满足时的最大值为()A. B. C. D解：画画是从线性规划知识中得到，选择d例3 .数列由以下条件决定(1)证明：是(二)证明：是的证明： (1)(2)当时=。例4 .关于解的不等式：分析：本例主要复习包括绝对值不等式在内的解法，并对讨论思想进行分类。 本问题的关键不是讨论参数，而是在取绝对值时讨论最后的知数，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集和解，得到原不等式的解集。解：当的双曲馀弦值。例5 .如果二次函数y=f(x )的图像通过原点且1f(-1)2、3f(1)4，则求出f(-2 )的范围.分析：求出f(-2 )取值的范围，只要找出包含人f(-2 )的不等式(组)，y=f(x )就是二次函数，所以应该先写出f(x )的表现形式。 求出f(-2 )的式子，根据问题设定条件列出包含f(-2 )的不等式(组)即可求解解：由于y=f(x )图像通过原点，因此能够设为y=f(x)=ax2 bx .解法1 (利用基本不等式的性质)不等式组(I )变形的()因此，f(-2 )可取值的范围是 6，10 .解法2 (数形结合)如图6所示，当直线4a-2b-f(-2)=0超过点a (2，1 )、b (3，1 )时，分别取得f(-2 )最小值6，最大值10 .即f(-2 )的取得范围是6f(-2 )10 .解法3 (利用方程式的思想)此外，在f(-2)=4a-2b=3f(-1) f(1)下1f(-1)2、3f(1)4、3 f (-1 )6 .获得43f(-1) f(1)10，即6f(-2)10。简评： (1)求解不等式时，同解的变形。 确保不发生以下误解因为是2b、84a12、-3-2b-1，所以是5f(-2)11(2)求解此类问题的关键是找出f(-2 )的数学结构，基于其数学结构特征，阐明其代数、几何本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程式等数学思想方法，从不同角度解决相同问题假设函数f(x)=ax2 bx c图像不与两条直线y=x、y=x交叉分析：因为xR，所以如果存在|f(x)|最小值，则最小值由顶点决定，因此设为f(x)=a(x-x0)2 f(x0 ) .证明：由于题意，假设a0.f(x)=a(x-x0)2f(x0)二次方程式ax2 bx c=x没有实根1=(b 1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0。因此，(b 1)2 (b-1)2-8ac0，即2b2 2-8ac0，即b2-4ac1.简要评价：从上述几个例子中，在证明二次函数不等式问题时，对问题设定了条件，合理采用二次函数的不同形式，找到了有效的证明途径例7 .某城市2001年