排列第四课时

排列 第四课时教学目标：能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。教学过程：【设置情境】从上一节课的简单应用题的解法中可以知道，一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用排列数公式外，还要结合分类计数原理与分步计数原理在实际中有些问题往往比较复杂，给出了一定的限制条件，如下面的问题：6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？像这样的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析与考察可能的情况，进行恰当的算法设计【探索研究】对上个问题可进行如下分析：分析1：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间4个位置中任选1个位置，有 种站法；然后对其余5人在另外5个位置上作全排列有 种站法。根据分步计数原理，共有站法（种）分析2：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中，选2个人站，有 种站法；对于中间的四个位置，4个人有 种站法根据分步计数原理，共有站法（种）分析3：若对甲没有限制条件，共有 种站法，这里面包含下面三种情况：（1）甲在排头；（2）甲在排尾；（3）甲不在排头，也不在排尾甲在排头有 种站法；甲在排尾有 种站法，这都不符合题没条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有（种）教师点评（出示投影）：上面的方法是解应用题中比较常用的三种方法，要好好理解同时，一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：（l）直接计算法排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法本题的方法一就是先处理特殊“新队员甲”，方法二则是先处理特殊位置“排头”、“排尾”这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”（2）间接计算法先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数这种方法也称为“去杂法”在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏（去尽）两者的繁简相差无几，有时相差很大，这时只要选择比较简捷的一种即可例题 5个人站成一排：（l）共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：（1）由于没有条件限制，5个人可作全排列，共有 种排法（2）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有 种排法（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有 种排法，而甲、乙又有 种排法，根据分步计数原理共有 种排法。（4）甲、乙两人外的其余3人有 种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 种排法，所以共有 种排法；或总的排法减去相邻的排法，即 种排法 （5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站有 种排法，剩下的人有 种排法，共有 种排法（6）甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有 种排法，故共有 种排法教师点评：本题所涉及的限制条件，如“某元素必须在某个位置”“某元素不在某个位置”“某几个元素相邻”“某几个元素不相邻”等具有一般的意义，要很好体会【演练反馈】1某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？（由一名学生板演，其他学生补充解法，教师讲评）2在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加4100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？（由一名学生板演后，教师讲评）3有标号为1，2，3，4，5的五个红球和标号为1，2的两个白球，将这七个球排成一排，使两端都是红球（1）如果每个白球的两边都是红球有多少种排法？（2）如果1号红球和1号白球相邻排在一起有多少种排法？（3）同时满足上述两个条件的排法有多少种？（学生思考后，教师讲解）【参考答案】1分析1：“第一节不排体育，最后一节不排数学”可分为以下几种情况：体育、数学都既不排在第一节也不排在最后一节，这时的体育、数学有 种排法，其他的课有 种排法，所以有 种排法数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有4 种排法体育排在最后一节，数学不排第一节，有4 种排法数学排在第一节，体育排在最后一节，有 种排法因此一共有 4 4 21 504种排法分析2：如果没有限制条件，可以有 种排法，其中不符合条件的排法有：数学排在最后一节有 种；体育排在第一节有 种但这两种情况都包含了“体育排在第一节同时数学排在最后一节”这种情况，而这种情况的排法有 种因此，符合条件的排法为2 21 504（种）注意：这里去杂时，必须加上多去的 2解：可将接力队分为“甲、乙两人都不在内”“甲、乙两人只有一人在内”“甲、乙两人都在内”三种情况：“甲、乙两人都不在内”有 种方法“甲、乙两人只有一人在内”有 种方法“甲、乙两人都在内”有 种方法因此，共有种安排方法3解：（l）红球的排法有 种，要使白球两边都是红球，只有插红球的空档位置，有 种方法，所以共有排法（种）（2）可分为两种情况：l号红球在两端时，其余4个红球有 种排法，这时1号白球只有1种排法，2号白球有 种排法，这种情况有 种排法；l号红球在中间三个位置时，两端的红球有 种排法，中间3个红球有 种排法，这时1号白球有 种排法，2号白球有 种排法，这种情况有 排法所以共有排法（种）（3）同样可分为两种情况：l号红球在两端时有 种排法；l号红球在中间三个位置时有 种排法所以共有排法（种）【总结提炼】比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件（一般是对元素或者位置作某些限制）解题时，首先要对这些有限制条件的元素或位置作仔细分析，然后再考虑解法当直接计算比较复杂时，可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数，从而间接求出符合条件的排列的种数无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析，采用直接计算法还是间接计算法，要防止重复或遗漏布置作业：1课本P96习题