平面的基本性质与推论空间中的平行关系知识精讲人教实验B

平面的基本特征和推理空间的平行关系知识一.本周的讲座内容：1.平面的基本特性和推理2.空间的平行关系二.教育目的1，理解平面和推理的基本特性，可以使用这些公理和推理解决问题。使用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的特性。2、基于推理的基础所学的一些公理和定理，通过直观认识、操作确认、推测论证，总结了空间中线、面平行性的判断定理和性质定理。利用已经得到的结论，可以证明一些空间位置关系的简单命题。三.教育焦点，困难焦点平面的基本特性和推理及其应用；直线平行和平行线的传递以及面平行的定义和确定。【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言之间的相互转换和应用；空间线、线、面、面平行确定和特性定理由平行公理和其他基本特性引入，并确定这些定理应用的方法。四。知识分析(a)平面的基本特征和推理1.平面的基本性质(1)公理1三种数学语言表达：文字语言表达：如果一条直线上的两点在一个平面内，则此直线上的所有点都在此平面内。图形语言表达：图1图1符号语言表达：内容分析：公理1的内容反映了直线和平面的位置关系。条件是“直线上的两点在平面内”，是公理的必要条件，结论是“直线上的所有点都在面内”。这个结论说明了两个观点。一种是整条直线在平面内，另一种是直线的所有点都在平面内。公理(1)的作用：线是否在平面内，点是否在平面内，可以用线检查平面。(2)公理2公理2的三种数学语言表达：文字语言表达：通过三个非共线点，只有一个平面。图形语言表达：图2图2符号语言表达：a、b、c不共线，只有一个平面alpha。内容分析：公理2的条件是“不在同一直线上的三点”，结论是“有，只有一个平面”。条件中的“三点”作为条件的中枢，不容忽视，但“不共线”的附加条件容易忘记，扔掉的话，结论就不成立，绝对不能忘记。同时要认识到一点、两点或共线的三点可以有很多平面。通过不共线的四点不一定是平的，要充分重视不共线的三点条件的重要性。要正确理解公理2中“有一个，只有一个”的意思。这里“有”的意思是图形存在。“只有一个”说图形唯一，这个公理强调存在和唯一两个方面。因此，必须完全使用“存在且只有一个”，不能使用“只有一个”代替“存在且只有一个”。否则，就没有表达的存在性。“确定一个平面”中的“确定”是指“存在且唯一”的同义词，表示存在和唯一性的术语今后也会经常出现，应该好好理解。公理2的作用：一个是确定平面。二是可以使用证明点，共面问题。(3)公理3公理3的三种数学语言表达：文字语言表达：如果两个不重合的平面有公共点，则只有一条公共线通过该点。图形语言表达：如图3所示。图3符号语言表达：公理3分析：公理3的内容反映了平面和平面的位置关系。公理2的条件简单地说是“两边都是一点”，结论是“两边都是直线，超过这一点，线是唯一的”。在这个公理中，对于两个不一致的平面，如果有公共点，就要强调彼此相交的位置关系，相交是直线。公理3的作用：其中一个是确定两个平面是否相交的基础，只要两个平面有公共点，就可以确定两个平面必须与通过此点的一条线相交。第二个点表示两个平面上的公共点，直线位于两个平面上的公共相交线，点位于相交线上。平面基本特性的推论推论1:通过一条线和此线外的一点，并且只有一个平面。推论2:通过两条相交线，并且只有一个平面。推论3:通过两条平行直线，并且只有一个平面。让同学们想一想：三种推理图形语言是如何表达的？三种推理符号语言是如何表达的？三个推论有什么作用？推论2的证明推论2:通过两条相交线，并且只有一个平面。已知：直线求证：通过直线a，b，只有一个平面。(证明)(1)如图4所示，在线a，b上分别取点a和其他点c，b，只有一个平面(公理2)，通过不在同一线上的3点a，b，c。图4又一次(公理1)平面是通过相交线a，b的平面。(2)如果直线A和B有另一个平面，那么A，B，C也必须都在平面内，这样不在直线上的3点A，B，C就可以有与公理3相反的两个平面，。所以穿过线a，b只有一个平面。总之，有直线a，b，只有一个平面。3.使用集合语言描述点、直线和平面之间的关系和图形的性质(1)点与平面的位置关系：点a在平面内，并记录为a。点a不在内。(2)直线与平面的位置关系：平面内的线m，记录；直线m不在平面内。(3)平面和平面在直线a处相交。(4)直线m和n在点a处相交并记录。4.学习时要注意的几个问题学习这个单元需要注意正确的映射，适当的绘制有助于培养我们的空间想象力。在平面几何中，参考线通常要虚线绘制，但在三维几何中，通常不可见的线条要虚线绘制，与它是否是参考线无关。在这一点上学生必须注意。平时训练中，要养成手勤画画的习惯，空间图形的直觉也要熟练地掌握画法-斜线画法。要重视几何语言的训练和写作，尽量记住公理和推论的几何语言的叙述。5.几种常见类型的解决方案(1)证明直线在平面内的方法：证明直线上的两点在平面内。(2)证明直线共面的方法：确定两条直线的平面，证明其他直线都在这个平面内。(3)证明点在直线上的方法：首先确定此线是哪两个平面的交线，并证明此点是这两个平面的公共点。(b)平面的平行关系1.平行线(1)空间中两条线的位置关系交集：同一平面上只有一个共同点。平行：同一平面没有公共点。(2)中学几何的平行公理：线之外只有一条线，且与这条线平行。说明这个结论还在空间中。(3)公理4(空间平行线的传递):与同一直线平行的两条直线相互平行。也就是说，如果是直线a /b，如果是c /b，则是a /c。这个公理是判断两条直线平行的重要方法。寻找第三条线，使其分别与前两条线平行。2.等距定理等角清理：如果一个角点的两侧和另一个角点的两侧平行且方向相同，则两个角点相同。推断：如果与两条相交直线相交的其他两条直线相互平行，则两条直线形成的锐角(或直角)相同。必须说明等轴测定理的条件“相同方向”。(1)如果仅更改为相反方向，则两个角度相同。(2)如果一个方向相同，另一个方向相反，则补偿两个角度。这个定理和推论是证明角度等价问题的一般方法。3.平移空间图形如果空间图形f中的所有点沿相同方向移动相同的距离到f 位置，则图形f在空间中平移了一次。注意：转换图形时，将保持与原始图形的总长度，即其角度和两点之间的距离。图形平移具有以下性质：(1)平移前后的两个图形都相同。(2)该角的大小转换前后不变。(3)两点对应的距离在转换前后不变。(4)与两条平行线相对应的位置关系在转换前后保持不变。(5)与两条垂直线相对应的位置关系在转换前后保持不变。证明空间中两条直线平行的方法(1)使用定义要使用定义证明两条直线平行，必须证明两条。一是两条直线在同一平面上。第二种是两条线没有公共点。(2)使用公理4用公理4证明两条直线平行，只需证明一件事。也就是说，必须找到直线c，找到a /c，但同时使用b/c，则从公理4得到a /b。5.直线平行于平面(1)直线与平面位置关系有三种，概括为公共点数(2)清理线面平行的判断：如果不在平面上的线与此平面内的线平行，则此线与此平面平行。符号显示如下：(I)此定理通常为：“线是平行的，线是平行的。单击(ii)使用此定理使线a和平面平行时，必须有以下三个条件：直线a不在平面内。平面内的直线b，即。两条直线a，b平行，即a /b。这三个条件缺一不可。(3)清理线面平行的性质：如果线平行于平面，且穿过线的平面与此平面相交，则线平行于两个平面的相交线。符号表现法：如果为，则为a /b，即如果线面平行，则线平行说明A.这个定理可以用作直线和直线平行的判断定理B.定理有三个条件。直线a为平面，即a/；平面，相交，即/=b；平面内的直线a，即。不能没有三个中的一个。(4)线性平行定理的应用应用线面平行的判断定理证明线面平行，关键是在平面内找到与平面外平行的线。应用线面平行特性定理解决问题的关键是将已知条件用作辅助平面，然后将已知线面转换为平行线和相交线平行。6.两个平面的位置关系类似于平面中两条线的位置关系。可以从是否存在公共点来区分。如果两个平面有三个不共线的公共点，可以从公理3知道。这两个平面必须重合。如果两个平面有公共点，就可以用公理2知道。这两个平面相交于通过这一点的一条线。如果两个平面没有公共点，据说两个平面相互平行。因此，您可以知道两个不一致平面的位置关系。(1)平行没有共同点。(2)交点具有一个或多个公共点(或一条公共线)。7.确定面平行清理：如果在一个平面上相交的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。已知：-，-(见图)证词：证明：反证据法家庭，。有同样的事被公理4知道，或者这是矛盾的。注意：(1)此清理用符号表示(2)应用这个定理的关键在于，面要平行，证词面要转换成平行。(。也就是说，在里面找到两条交叉线都是平行的。(3)这个定理有推论。“如果在一个平面内相交的两条直线平行于在另一个平面内的两条直线，则这两条平面相互平行。”8.清理面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的相交线平行。已知：平面(如图所示)证词：证明：没有共同点，没有共同点而且，注：(1)此定理可用作直线平行的判断定理。(2)面曲面的平行特性包括：此性质是同时确定线面平行的方法。夹在两个平行平面之间的两条平行线段是相等的。三个平面这是平面平行的传递性。9.两个平面平行问题经常导致线面转换为平行，但线面可能转换为平行。因此，注意变形思想的应用，两个平面平行性质的定理成为证明空间两条直线平行的重要依据，必须牢牢把握。典型例子范例1。以符号显示以下语句并绘制图形：(1)三个平面在一点p相交，平面和平面在PA相交，平面和平面在PB相交，平面和平面在PC相交。(2)平面ABD和平面BDC在BD上相交，平面ABC和平面ADC与AC相交。(3)直线a和b在平面上相交一点m。分析：(1)符号语言表达：，图形表示法：图(2)符号语言表达：平面ABD平面BDC=BD，平面ABC平面ADC=AC图形表达：图(3)符号语言表达：图形表现法： (下图中的三个插图)。注释：理解数学符号的意义，学习和养成用符号语言和图形语言表达文字叙述句的习惯，会给解决问题带来很多便利。范例2 .一条线与三条平行的直线相交，证明：这四条直线共面。解决方案：已知：寻求证据：直线，共面。方法1:确定平面而且，所以此外，确定可以证明相同的平面。而且，相交的两条或多条线，具有一个平面，因此与匹配直线，共面。方法2:方法1，共面，即指定平面同样，已证明的平面只能确定一个平面。，共面评论：首先要证明所有行的共面，用符号语言重写已知和证据，一种方法是确定平面，用公理1证明；另一种方法是，首先确定平面，确定其他平面，并证明两个平面重合。范例3 .在平面外部已知的情况下，具有三条边的直线分别与p、q和r的三个点相交。寻求证据：p，q，r在同一条线上。分析：如图所示。，平面与平面ABC的交点。而且，和平面ABC，、p、q和r三点共线。注释：要证明p，q，r 3点共线，只需证明p，q，r 3点位于平面与平面ABC的交线上。首先，使用任意两点确定相交线对应的直线，证明第三点位于该直线上即可。范例4 .如图所示，两个三角形ABC及其顶点连接到同一个点o(1)证词：(2)求的值。分析：可以使用平面几何知识证明两条线平行。使用等角定理，可以证明两个边相等，证明两个三角形相似。与点o相交(1)同样地，(2)、和方向相反同样的道理所以，以及意见：判断或证明明细行明细行的常用方式如下：(1)平面几何中证明两条线平行的方