普通高等学校招生全国统一考试数学理科福建卷精校

2010年大学入学考试福建数学问题(理科解析)第I卷(选择题共计60分)一、选择题：本大题共十二小题。 每小题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一个满足主题的要求。1 .的值等于()A. B. C. D【回答】a【解析】选择原式=、a。【命题意图】本问题是调查三角函数中两角差的正弦式和特殊角的三角函数，调查基础知识，保分问题。2 .以抛物线的焦点为中心且超过坐标原点的圆的方程式为()A. B. C. D【回答】d已知抛物线的焦点坐标为(1，0 )，即求出圆的中心并超过原点，因此圆的半径为，求出圆的方程式即选择d。【命题意图】本问题考察抛物线的几何性质和圆的方程式求法，是基础问题。3 .若取等差数列前n项之和，取最小值，则n相等A.6 B.7 C.8 D.9【回答】a【解析】设这几列公差为所以，那个时候取最小值。【命题意图】本问题调查等差数列的通项式和前n项和式的应用，调查二次函数的最大值的求法和计算能力。4 .函数的零点数为()A.0 B.1 C.2 D.3【回答】c【解析】当时，可以解开当时，因为命令解除了，所以知道函数有两个零点，所以选择了c。【命题意图】本问题考察了分段函数零点的求解方法，考察了分类讨论的数学思想。5 .读取右图所示的程序框图，执行相应的程序后，输出值为()A.2 B.3 C.4 D.5【回答】c分析可从程序框图看出该框图的功能性输出使用和时间值加1。 因为所以当时因为计算了，所以输出选择了4，c。【命题意图】本题以新课题的新内容，考察认识过程框图的基本能力。6 .如图所示，对于长方体为平面切割的几何，如果e是线段上的差异，f是线段上的差异，并且，则在下一个结论中不正确的是()a.b .四边形是矩形c .棱柱d .是棱锥台。【回答】d【解析】和，所以，平面因此，|平面、平面、平面=所以，所以，选择a、c在正确的平面上222222222222222222222222222【命题意图】本问题考察了空间中直线与平面的平行、垂直的判断和性质，考察了学生们的空间想象力和逻辑推理能力。7 .如果点o和点是双曲线的中心和左焦点，点p是双曲线右分支上的任意点，则的值范围为()A. B. C. D【回答】b【解析】由于是已知双曲线的左焦点，即双曲线方程在放置点p时被求和，=，然后，与该二次函数对应的抛物线的对称轴取最小值，因此取得的范围选择b。【命题意图】本问题研究了未定系数法求双曲线方程式，研究了平面向量的数积的坐标运算、二次函数的单调性和最高值等，研究了同学们对基础知识的熟练程序和知识的综合应用能力、运算能力。8 .不等式组表示平面区域，平面区域关于直线对称，对于中的任意点a和中的任意点b，最小值等于()A. B.4 C. D.2【回答】b图1是根据该问题看出的，获得的最小值是区域中从点到直线的距离的最小值的两倍，并且如图所示绘制了由已知不等式表示的平面区域可知从点(1，1 )到直线距离最小，因此最小值为我选b。【命题意图】本问题考察了不等式中线性规划和两个图形间最小距离的求解、基本式(从点到直线的距离式等)的应用，考察了转化和归化能力。9 .对于复数，如果集合具有“对于任意，一定有”的性质的话则为()A.1 B.-1 C.0 D .【回答】b从题意中选择b。【命题意图】本问题是一个创新问题，考察多个和集合的基础知识。10 .对于具有相同定义域d的函数和，如果函数是常数，则对于给定的正整数m存在该常数，因此，直线总是被称为曲线和的“渐近线”。 定义域都是D=的四组函数是：、。这里，曲线和“渐近线”的存在是()A. B. C. D.【回答】c【解析】分析的结果由于容易理解正确，因此选择了c。【命题意图】本问题是一种新的问题类型，调查有关函数的知识。二、填空问题：11 .在等比数列中，公比且前三项之和为21【回答】从题意中知道并解开了，所以通项。【命题意图】本问题考察了等比数列的通项式和上位n项和式的应用，是一个基础问题。12 .一个底面为正三角形三角柱的主视图如图所示，其表面积相等.【回答】【解析】从主视图可知，三角柱是底面的边长为2、高度为1的正三角柱，因此底面积为因为侧面积是，所以其表面积是。【命题意图】本问题考察立体几何中的三个视图，考察学生们了解图的能力、空间想象能力等基本能力。13 .某知识竞赛规则在：主办方设定的5个问题中，如果运动员能够连续正确回答2个问题，就停止解答上升到下一回合。 如果某运动员回答所有问题的概率，而每个问题的回答结果相互独立，那么该运动员正好回答4个问题，上升到下一回合的概率相等。【回答】0.128【解析】根据问题意识求出的概率是。【命题意图】本问题分析了独立反复实验的概率，在调查基础知识的同时，分析了学生们的问题，进一步调查了解决问题的能力。1-4 .图像与已知函数的对称轴完全相同。 时，的值范围为。【回答】因为以题意为人所知，所以以三角函数图像为人所知的最小值是，因为最大值是，所以的可能范围是。【命题意图】本题考察了三角函数的图像和性质，考察了数学思想的数学结合。15 .已知函数满足定义域：对于任意，永远成立的当时。 得出以下结论：任意，有函数的值域存在，因此“函数在区间上单调减少”的充分条件是“存在中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析。其中正确结论的序列号是。【回答】【解析】对，所以是正确的分析结果，也容易正确。【命题意图】本问题考察函数的性质和充分条件，熟练基础知识是解决本问题的关键。三、解答问题：16.(本小题为13分满分)作为不等式的解集。(1)将“成立的秩序排列”作为事件a，列举a中包含的基本事件(2)设定求出的分布列及其数学期待。【命题意图】本小题主要考察概率与统计、不等式等基础知识，考察运算求解能力、应用意识，考察分类与整合思想、必然与可能思想、化归与转化思想。【解析】(1)由来，即因为是整数，所以包括在a中的基本事件是的双曲馀弦值。(2)的所有不同读取值为的所有不同读取值然后，因此，分布0149p所以=。17.(本小题为13分满分)中心位于坐标原点o的椭圆c通过点a (2，3 )，可知点f (2，0 )为其右焦点。(1)求椭圆c的方程式(2)直线和椭圆c有共同点，与直线OA的距离为4的与OA平行的直线是否存在？ 如果存在，求直线方程式如果不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考察直线、椭圆等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察函数和方程式思想、数形结合思想、化归和转化思想。【解析】(1)根据题意，可以设定椭圆c的方程式，左焦点为因为是f (-2，0 )另外，椭圆c的方程式是。(2)假定存在符合问题意义的直线，该方程式为由得因为直线和椭圆有共同点我理解另外一方面，从与直线OA距离4 :因此所以，不存在符合问题意识的直线。18.(本小题为13分满分)如图所示，圆柱的内侧有三角柱，三角柱的底面是圆柱底面的内接三角形，AB是圆o的直径。(I )证明：平面平面(ii)ab=，在圆柱内随机选择点，记述该点来自三角柱内的概率。(I )点c在圆周上移动时求出的最大值(ii )平面与平面所成的角是取最大值时求出的值。本小题主要考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体积、几何概型等基础知识，考察空间想象力、运算求解能力、推理论证能力，考察数学结合思想、化归与转化思想、必然和可能思想。【解析】(I )为了平面ABC、平面ABC因为AB是圆o的直径，所以从平面上看因为是平面，所以是平面。()(i )圆柱的底面半径为AB=，三角柱的体积为=又所以，只有=当时的等号成立了圆柱的体积所以=理所当然，等号立即成立最大值为。由(ii)(i )可知，若取最大值，则将o作为坐标原点来确立空间正交坐标系(图)，则为C(r，0，0 )、B(0，r，0 )、(0，r，2r )因为它是平面，所以它是平面的法线向量设置平面法向量取平面的法线向量所以。19.(本小题为13分满分)的双曲馀弦值。 轮船位于港口o西北，距离该港20海里的a地点，以30海里/小时的航行速度向正东方向等速行驶。 假设这条小船沿直线方向以海/小时的航行速度等速行驶，经过t时间与轮船相遇。(1)如果想使相遇时小船的航行距离最小，小船的航行速度大小是多少？(2)假设小船的最高航行速度只达到30海里/小时，设计航行计划(即决定航行方向和航行速度的大小)以使小船能够在最短时间内与轮船相遇，并说明理由。图解可以从方程式(1)获得因为船的最高航行速度只有30海里/小时，所以在a，c (包括c )的某个地方不能和船相遇，OD=从出发到邂逅，轮船和小船所需时间各不相同所以当你明白因此，值、最小值为获取最小值，最小值为。在这种情况下，可设计的航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小船可以在最短的时间内与轮船相遇。20.(本小题满分14分)(I )已知函数。(I )求函数的单调区间；(ii )任何一个非零实数的情况下，曲线c和在该点的切线被证明与别的点相交的双曲馀弦值。 曲线c与点处的切线相交于另一点或直线(ii )证明一般三次函数() ()的正确命题。【命题意图】本小题主要考察函数、导数、定积分等基础知识，考察抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考察函数和方程式思想、数学结合思想、化归和转化思想、特殊和一般思想。【解析】()(i )由得=和合时当时因此，单调增加区间为和，单调减少区间为。(ii )曲线c及其点处的切线方程是这意味着我们可以解开它相反，通过重复上述计算过程得到和，又因此所以有。(ii )记述函数的图像是曲线，()(ii )类似的正确命题是，对于任意不等式的实数，曲线和在该点的切线相交于另一点的双曲馀弦值。 曲线c与点处的切线相交于另一点或直线证书如下：由于平移变换不会改变面积的大小，因此可以将曲线的对称中心平移到坐标原点，因此可以进行(i)(ii )那样的计算故。21 .正题有(1)(2)(3个选考题，每个题目为7分，请考生选择2分回答，满分为14分。 如果要多做，就在做过的前两道题上打分。 回答时，首先用2B铅笔将与选择的主题对应的标题号码涂黑，将选择的标题号码用括号括起来填写。(1) (本小题满分7分)选矿4-2 :矩阵和变换已知矩阵M=，然后(I )求实数值(ii )求与矩阵m对应的线性变换中的直线像的方程式。(2) (本小题满分7点)选矿4-4 :坐标系和参数方程式在正交坐标系xoy中，直线的参数方程式是(t是参数)。 在极坐标系(取与正交坐标系xoy相同长度的单位，将原点o设为极点，将x轴正半轴设为极轴)中，圆c的方程式为。(I )求出圆c直角坐标方程式，假设(ii )点a、b与圆c直线相交，点p的坐标为求出|PA| |PB|。(3) (本小题满分7分)选择4-5 :不等式选择已知函数。(I )不等式解集求实数值的；(ii )在(I )的条件下，如果所有的实数x一定成立，则求出实数m能够取得的范围。(1)选矿4-2 :矩阵和变换【命题意图】本小题主要调查矩阵和变换等基础知识，调查演算求解能力。【解析】(I )根据问题设定、解决(ii )与矩阵m对应线性变换为直线(或点)，因此优选直线上的2 (0，0 )、(1，3 )因此，点(0，0 )、(1，3 )在与矩阵m对应线性变换中成为(0，0 )、(-2，2 )与矩阵m对应的直线变换中的直线像的方程式如下。(2)选矿4-4 :坐