期中复习一人教实验B

期中复习一一. 本周教学内容：期中复习（一）二. 教学目的通过对必修一重点知识的专题分析，帮助学生充分掌握所学数学知识。三. 教学重点、难点重点：各个知识点的专题分析难点：较复杂问题的理解及掌握四. 知识分析一、集合问题（一）注意集合的三性集合是非定义的、描述性概念，构成集合的对象称为元素，作为集合的元素，具有三个特点：确定性、互异性和无序性。 1. 确定性对任意对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征。没有确定性就不能成为集合。如“很大的数”、“个子较高的同学”都不能构成集合。 2. 互异性集合中的任何两个元素都不相同，即在同一集合里不能出现相同元素。如把两个集合1，2，3，4，3，4，5，6，7的元素合并在一起构成一个新集合，那么这个新集合只能写成1，2，3，4，5，6，7。 3. 无序性在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序。如集合a，b，c，d与b，d，c，a表示相同集合。解决集合概念的关键是理解这三大特点，今以例题说明其内涵和应用。例1. 由下列对象组成的整体能构成集合的是：不超过的正整数；高一数学课本中的难题；中国大城市；方程的实根；平方后等于自身的数。（ ）A. B. C. D. 解析：作为一个给定的集合，其元素必须是确定的，即对集合A和元素a，要么，要么，二者必居其一。对于，其组成的个体是不确定的，故选C。例2. 由a，组成的集合中含有2个元素，求a的范围。解析：对于给定的一个集合，集合中的元素一定是互不相同的，即任何两个相同的对象在同一个集合中只能算一个元素。依上题意，a，作为其集合中的两个元素，一定是互不相同的，所以a0且a1。例3. 已知集合只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。分析：该题将初中学习的一元一次方程与一元二次方程和集合内容联系在一起，注意当两根相同时作为集合元素，只能算作一个；注意对项系数k的讨论。解：当k=0时，原方程变为所以x=2此时集合当k0时，要使集合只有一个元素，需=0即，所以k=1此时集合A=4综上所述，实数k的值为0或1，当k=0时，集合A=2；当k=1时，集合A=4。例4. 规定当两集合的元素完全相同时，这两个集合相等。若，且A=B，求x,y的值。分析：集合1，3，2，1，2，3，3，1，2均表示同一个集合。借助互异性与无序性求解。解：因为A=B，所以A，B中的元素相同若，则当x=1时，A=1，y，B=1，y，可知且y1；当时，A=1，y，B=1，y则须，所以y=0；若，则须有xy=1，解，得此时A中的元素，这与元素的互异性相矛盾，故舍去。综上可知适合条件的x,y值如下：当x=1时，且y1；当时，y=0。（二）注意数0，0，的关系数0不是集合，0是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合。 例5. 下列关系错误的是（ ）A. B. C. D. 解析：A、B、D都正确，而是不含任何元素的集合，故选C。（三）注意空集的特殊性空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解题的过程中极易被忽视。 例6. 已知集合M满足1，21，2，3，4，5，则这样的集合有多少个？解析：由已知集合M中的元素至少含有1，2至多含有1，2，3，4，5，故要求满足条件的集合M相当于求集合3，4，5的子集数。集合3，4，5的子集有，3，4，5，3，4，3，5，4，5，3，4，5，则集合M共有8个。（四）注意符号“”与“”（或“”）的区别。符号“”表示元素与集合之间的从属关系，“”（或“”）表示集合与集合间的包含（或真包含）关系。 例7. 以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。（1）0与0；（2）0与；（3）与0；（4）0，1与（0，1）；（5）（b,a）与（a，b）。解析：（1）00。（2）0。（3）与0都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系，0；也可以是0。（4）0，1是含两个元素0，1的集合，而（0，1）是以有序数对为元素的集合，它只含有一个元素。0，1（0，1）。（5）当a=b时，（a，b）=（b，a）；当ab时，（a，b）（b，a）。（五）注意数集与点集的区别以数或点为元素的集合分别叫做数集或点集，要防止出现偏差。 1. 书写上的错误，误把点集（2，3）写成2，3或x=2，y=3； 2. 理解上的错误，误认为等价于或。 例8. 已知集合，试求B。解析： （六）集合的运算例析1、交集问题 例9. 设集合，求实数a。解析：集合A中含有元素3，由。因为，所以当这时A=0，1，3，与题设矛盾，可见a0。当这时，B=4，3，2，满足条件。综上可知点评：由3A,3B不一定能推出，这是因为只能说明3是A，B的公共元素，可能还有其它公共元素，因此，该例在得到a=0或时，一定要检验。2、并集问题例10. 若集合A=1，3，x，B=1，1，3，x，则满足条件的实数x的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：因为1，3，x，A=1，3，x，B=1，所以AB=A,AB所以。（1）当。若x = ，则，符合题意；若，则，符合题意。（2）当时，得x=0或x=1若x=0，则A=1，3，0，B=1，0，符合题意；若x=1，则A=1，3，1，B=1，1，不符合题意，舍去。综上可知，故选C。点评：，应熟记并会应用。3、补集问题 例11. 设全集。解析：需对所含参数进行讨论。若x=2，则不成立，所以x2。若（舍去）所以U=1，2，1，A=1，1所以点评：首先确定参数x的取值，然后定出U，A，才求得。求解集合问题时，必须密切关注集合元素的三个特性，特别要注意元素的互异性。4、综合问题例12. 设全集U为R，A=，B=，若=2，求。解析：因为=2，所以又，所以所以，解之得，所以A=3，4，B=2，3所以2，3，4点评：，所以，从而。二、函数概念的理解与应用函数的定义：一般地，设A，B是非空数集，如果按某种对应法则f，使得对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数。记为y=f(x)，。由所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，由所有的输出值y组成的集合称为函数的值域。说明： 1. 函数的本质含义是定义域内任一x值，必须有且仅有惟一的y值与之对应； 2. 函数是由定义域A，值域C（）及对应法则f共同构成的，这就是常说的函数三要素，由于定义域与对应法则一旦确定，则值域C也确定，因此看两个函数是否相同时，就是看定义域与对应法则是否完全相同； 3. 正确理解函数符号f(x)：（1）它表示y为x的函数，绝非f与x的乘积；（2）f(a)仅表示函数f(x)在x=a时的函数值，是一个常数。（一）七个“函数”疑难问题1、表达式相同的两个函数是否相同？很多学生容易把具有相同表达式的两个函数看作同一个函数。其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题，例如，与，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数。2、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数？有些同学认为，两个函数定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相同。其实不然，例如，这两个函数定义域和值域分别相同，但由于，即当自变量x取相同值时，故f(x)g(x)。事实上，两个函数相等的意义也可叙述成：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任一，都有。3、复合函数y=fg(x)的定义域与y=f(x)的定义域一致吗？已知函数y=f(x)的定义域为a，b，求函数y=fg(x)的定义域，是指求满足ag(x)b的x的取值范围；而已知y=fg(x)的定义域是a，b，指的是。4、函数的定义域可以是空集吗？教材中指出：“设A、B是非空的数集，”。由此，不存在定义域为空集的函数。当函数存在（给定）时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在。5、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，否则可能出现由一个自变量的值求出两个函数值的情况，这与函数定义矛盾。这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集。6、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域也相应被确定？因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数解析式就是确定函数关系即定义域到值域的对应法则，在这个法则下，每一个x都有惟一的y与之对应，因此可由定义域确定值域。7、表示函数的常用方法有几种？各有什么优点？ （1）表示函数的记号是y=f(x)，常用方法是解析法、列表法、图象法。 （2）用解析法表示函数的优点是： 函数关系清楚； 给定一个自变量的值，可求它的函数值； 便于研究函数的性质。 （3）列表法的优点是：不必计算，查表可得到自变量与函数的对应值。 （4）图象法可以直观形象地表示出函数值随自变量的变化规律。（二）常考题型：1、判断一个x , y的关系式能否表示成y为x的函数 例1. 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式。（1）；（2）；（3）。解：要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，永远有惟一的y值与之对应。（1）满足要求，可表示成y为x的函数；（2）不满足，因为对于（1，0）内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数；（3）也满足要求，可表示为。2、判断两函数是否表示同一函数 例2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A. f(x)=| x |与g(t)=B. C. D. 分析：要判断两函数是否表示同一函数，关键是看定义域与对应法则是否相同。B与D中的两个函数的定义域不同，C中的两个函数对应法则不同，只有A中两个函数的定义域与对应法则完全相同，故应选（A）。3、根据条件求f (a)或f g (x)的表达式 例3. 已知，求。分析：已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用。解：,则因为,则4、求函数的定义域与值域 例4. 求函数的定义域。分析：我们目前要考虑定义域的主要是（1）分母不为0；（2）开偶次方根的被开方数需不小于0；（3）中的x不为0。解：根据题意得解之得所以函数的定义域为例5. 下列函数中，值域为（0，）的是（ ）A. B. C. D. 分析：求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可。A：由于，所以值域为；B：函数值y随着x增大而增大，所以值域为；C：，则的值域为）；于是选项（D）正确。三、函数解析式的求法例析1、已知函数类型，用特定系数法求解 例1. 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且，求函数f(x)的解析式。解：设由f(0)=0知c=0，又所以即所以，因此2、已知复合函数fg(x)的表达式，可用下面两种方法 （1）换元法 例2. 已知，求函数f(x)的解析式。解：设所以所以所以 （2）配凑法例3. 若。当已知表达式较简单时，可用配凑法，即将函数方程中的解析式凑成函数符号下的式子关系，然后将式子用变量x代换解：由所以所以评注：（1）已知f(x)，求函数fg(x)的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可。（2）已知fg(x)求函数f(x)解析式的方法。换元法，设g(x)=t，从而求出x，则fg(x)=f(t)。在fg(x)中凑出g(x)，再直接把g(x)换成x。3、若已知抽象函数表达式，常用构造方程组法 通常以f(x)与；f(x)与；f(x)与f(x+a)等构成方程组，求方程f(x)的解析式。 例4. 设f(x)满足关系式f(x)=3x，求f(x)。解：因为f(x)=3x（1）将x用代替得（2）将（1）（2）联立构成方程组消去得：4、赋值法（或特殊值法） 例5. 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x, y有成立，求f(x)的解析式。解：由f(0)=1，设x=y，得因为f(0)=1，所以即5、根据实际问题求函数表达式根据实际问题求函数表达式是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，以求得表达式（要注意函数定义域的实际意义）。 例6. 如图，在RtABC中，B=30，C=60，AC=a，动点P，Q自A分别沿边界按ABCA的方向与ACBA方向运动，它们的速度之比是1：3，当P，Q相遇时，停止运动，设P点所走过的路程为x，APQ的面积为y，写出y和x的函数关系式。分析：这是函数在几何中应用问题，考查分段函数的概念，本题关键是根据1：3的速度比，确定P，Q的位置。解：（1）当时，Q点在AC上运动，此时y=；（2）当时，Q点在BC上运动，此时（过O点作QEAB交AB于E）y=。四、关于函数的单调性如果一个函数在某个区间是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义证明。的三个特征一定要予以重视，一是任意性，即“任意取”，“任意”二字决不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。关于单调性的证明，通常分为四个步骤进行：第一步，取值。即设是该区间内的任意两个值，且；第二步，作差变形。即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步，定号。确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第四步，判断。根据定义作出结论。 例1. 证明函数）上为增函数。证明：设是上的任意两个实数，且，则 ，即 函数上为增函数 例2. 设函数在区间上是增函数，试求实数a的取值范围。解析：的对称轴方程为。由二次函数性质知函数的单调递增区间是是的一个子集故所求实数a的取值范围是五、关于函数的奇偶性（一）学习要点 1. 要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性。（2）是定义域上的恒等式。2. 奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：。 3. 奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立。因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法。 4. 按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。 5. 在公共定义域内：（1）奇函数与奇函数的和（差）仍是奇函数；偶函数与偶函数的和（差）仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和（差）是非奇非偶函数。（2）奇函数与奇函数的积（商）是偶函数；偶函数与偶函数的积（商）是偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。以上两条同学们可以自行验证。 6. 设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则为偶函数，=为奇函数。 7. 奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反。（二）典型例题选析 例1. 当a、b、c满足什么条件时，函数是：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既奇又偶函数；（4）非奇非偶函数。解：（1）若是奇函数，应有，于是有即对定义域内所有实数都成立，所以只有a=c=0（2）若是偶函数，则有f(-x)=f(x)，于是有，即2bx=0对定义域内所有实数都成立，所以只有b=0（3）若既是奇函数又是偶函数，则由（1）和（2）知a=b=c=0（4）若是非奇非偶函数，则即a0且b0或c0且b0时，f(x)为非奇非偶函数。例2. 知，求f(2)的值。解：令显然g(x)是奇函数，即又，所以 例3. 判断函数的奇偶性。解：当x0时，此时当x=0时，当x0时，此时因此，对任意，都有所以函数f(x)为偶函数 例4. （2004全国）已知函数为奇函数，若，则f(5)=（ ）A. 0B. 1C. D. 5解：令由，故有f(2)=1，故选（C） 例5. （2002北京）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意都满足。（1）求f(0)，f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论。解：（1）在f(ab)=af(b)+bf(a)中，取a=b=0，得f(0)=0再取，得f (1)=2f (1)，f(1)=0（2）f(x)为奇函数，证明如下： 在，有，即，故f(x)为奇函数六、二次函数在某区间上的最值问题二次函数是中学数学中的一种重要函数