江苏七南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港高三数学第二次调研考试

江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三数学第二次调研考试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，若 ，则实数a的值为_【答案】4【解析】【分析】由确定a值即可【详解】 ，a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.复数（为虚数单位）的实部为_【答案】【解析】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求【详解】故实部为故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为_【答案】35【解析】【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56497，抽样的比列为 ，故该学校的行政人员人数是735，故答案为 35【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为_【答案】【解析】【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率【详解】随机选派2人参加植树活动，有6种，甲、乙两人中恰有1人被选中有4种，所求概率为，故答案为【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为_【答案】30【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解【详解】模拟程序的运行，可得i1，S2满足条件i7，执行循环体，S212，i3满足条件i7，执行循环体，S2 3=6，i5满足条件i7，执行循环体，S6530，i7此时，不满足条件i7，退出循环，输出S的值为30故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：分析流程图，建立数学模型，解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由4x160即可求得函数的定义域【详解】4x160，4x16，x2，故答案为2，+）【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题7.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为_【答案】【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则故答案为【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为_【答案】2【解析】【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx2y0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx2y0，根据点到直线的距离公式，可得b2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在ABC中，已知C = 120，sinB = 2 sinA，且ABC的面积为，则AB的长为_【答案】【解析】【分析】由sinB2sinA，利用正弦定理可得：b2a可得SABC，解得a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在ABC中，由sinB2sinA，利用正弦定理可得：b2aSABC，解得ab4c2b2+a22bacosC16+42cos12028，解得c,即AB=故答案为【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O的表面积为_m2【答案】【解析】【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积【详解】P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，2R则球O的表面积S4R229故答案为【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为_【答案】5【解析】【分析】由图分析画出与在同一个坐标系的图像，即可求解【详解】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于的不等式( a，b，cR ) 的解集为 x | 3 x 4，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由不等式解集知a0,由根与系数的关系知,将b,c分别用a 表示代入，利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a0,由根与系数的关系知则，当且仅当-24a=即取等故答案为【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3，-1），设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为_【答案】【解析】【分析】设AB中点为M由弦长公式，求出M的轨迹方程；由得,将向量坐标化得到的方程组，求解即可求出【详解】设AB中点为M由勾股三角形知OM=,即,又则，即, ，将联立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为若，则的最大值为_【答案】44【解析】【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取S由得到令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式得取等条件不成立，则检验t=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，t为奇数，的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分15.在平面直角坐标系中，设向量 =， = ，其中（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由，求得将展开即可代入求解【详解】（1）因为，所以，所以 因为，所以于是 解得（2）因为，所以，又，故因为，所以，又，解得因此， 【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1B1C1设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E求证：（1）DE平面ABB1A1； （2）BC1平面A1B1C【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DEAB，即可证明DE平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1,进而BB1A1B1,证得A1B1平面BCC1B1，进而A1B1BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C进一步证明平面BC1平面A1B1C即可【详解】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以侧面ACC1 A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点所以DEAB 又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE平面ABB1A1 （2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1 又A1B1B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1 = B1，所以A1B1平面BCC1B1 又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC1又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C又A1B1B1C = B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH = （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低【解析】【分析】（1）由题知FHHM，在RtFHM中，所以，得FBC的面积，从而得到屋顶面积；（2）别墅总造价为=令，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM 平面ABCD，得FHHM 在RtFHM中，HM = 5，所以 因此FBC的面积为从而屋顶面积 所以S关于的函数关系式为()（2）在RtFHM中，所以主体高度为 所以别墅总造价为 记，所以，令，得，又，所以列表：-0+所以当时，有最小值答：当为时该别墅总造价最低【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S表示为函数是关键，求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值； 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值【答案】（1）；（2）见解析，见解析.【解析】【分析】（1）由题所求椭圆 a=,离心率，由得b即可；（2）当直线OP斜率不存在时，得当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，与椭圆联立，同理，推得从而可求；设，直线的方程为 即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程得，由，得，再将代入得，同理，得到关于为根的方程，由韦达定理及点P在椭圆上化简即可求得为定值【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，解得，因此椭圆C2的标准方程为。（2）1当直线OP斜率不存在时，则 2当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，所以，同理所以，由题意，同号，所以，从而所以为定值设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，因为直线与椭圆C1有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以为关于k的方程的两根，从而又点在椭圆C2：上，所以，所以为定值 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值； （3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1），列极值表，即可求得的极值；（2）设切线方程为，从而，记，即求在上恒成立，将变形为恒成立，由基本不等式成立求得；（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，分别写出 处的切线方程，由为同一直线得整理得消去得，令构造函数，求导求得，推出矛盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1） 当时，函数的定义域为则，令 得，或列表：12+0-0+极大值极小值所以函数的极大值为；极小值为（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以 （3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以即整理得， 消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.已知数列的各项均不为零设数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn， 且 （1）求的值； （2）证明：数列是等比数列；（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值【答案】（1），；（2）数列是以1为首项，为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令n=1,n=2列关于的方程求解即可；（2）因为， ，得 进一步有，得，检验n=1 成立，即可证明是等比数列（3）由（2）将代入不等式，由对任意的恒成立，所以适合，讨论，当为奇数时恒成立，和，当为奇数时恒成立，通过证明，单调减，即（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有合适【详解】（1）因为，令，得，因为，所以令，得，即，因为，所以（2）因为， 所以， 得，因为，所以， 所以， 当时，得，即，因为，所以又由（1）知，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列 （3）由（2）知，因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间因为对任意的恒成立，所以适合 若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符 若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符综上，实数的所有值为0【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题， 考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知m，nR，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为( t为参数)，椭圆C的参数方程为.设直线与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长C选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均是正实数，且求证：【答案】A：；B：；C：见解析【解析】【分析】A由矩阵的运算求解即可；B化直线的普通方程为，与椭圆联立求得AB坐标，由弦长公式求得AB的长；C由柯西不等式证明即可【详解】A由题意得，即所以即矩阵.矩阵的特征多项式，解得矩阵的另一个特征值为. B由题意得，直线的普通方程为椭圆C的普通方程为 由联立，解得A，B， 所以C由柯西不等式得，因为，所以所以，当且仅当“”时取等号【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23