期中复习二人教实验B

期中复习二一. 本周教学内容： 期中复习（二）七. 函数的零点及性质的应用（一）要点解读 1. 函数的零点 一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即，则a叫做这个函数的零点。 注：并不是所有的函数都有零点，如函数y=7，就不存在零点。 2. 二次函数的零点个数与相应二次方程实根个数的关系 3. 零点的性质（1）二次函数的图象是连续的，当它通过零点时函数值变号；（2）在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。注：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。 4. 如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且0在R上恒成立的条件是（2）f(x)0，=12时，f(x)0，所以，a0。又由，得b0或点评：本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例。一般地，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解法，使问题得到巧妙解决。八. 用二分法求方程的解（一）二分法的概念二分法，又称分半法，是一种方程解的近似值的求法。对于在区间a，b上连续不断且满足的函数y=f(x)，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。（二）用二分法求方程的近似解的一般步骤 1. 寻找并确定区间a，b，使其包含着方程f (x)=0（或g (x)=h (x)）的解；（1）图象法先画出函数y=f (x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出函数y=g (x)和y=h (x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。（2）函数法把方程均转换为f (x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性等），来判断解所在的区间。 2. 取区间a，b的中点； 3. 计算，若与f(a)正负号相同，则取，b为新的区间；否则取a，为新的区间； 4. 再循环上面的第2步，至理解精确度为止（判断得到零点的近似值）当时，且m，n根据精确度得到的近似值均为一个值P时，则，即求得了近似解。（三）用二分法求方程的近似解的基本思想第一步：确定有解区间a，b；第二步：取a，b的中点；第三步：计算函数在中点处的函数值；第四步：判断中点处函数值是否为0；第五步：判断新的有解区间的长度是否小于给定的误差。（四）用二分法求方程近似解的实例分析 例1. 借助计算器用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。分析：方程的近似解即对应函数的近似零点，由求函数近似解的一般方法可以求出：（1）定区间（1，2）；（2）取中点；（3）计算中点对应的函数值；（4）确定范围。解：原方程可化为分别画出函数的图象，结合图象可知道，方程的解在区间（1，2）内，那么对于区间（1，2），利用二分法就可以得出它的近似解为。 例2. 从中国上海到美国旧金山海底电缆共有15个接点。现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为_个。分析：可以通过二分法的思想来处理这种对称的问题。解：把从中国上海到美国旧金山的海底电缆的15个接点分别标上号码：第1个接点，第2个接点，第15个接点；先检查中间一个接点，即第8个接点，如果是它，那么就完成；如果不是它，那么假定故障发生点在前面，即第1个接点到第7个接点之间；再检查第1个接点到第7个接点中间的一个接点，即第4个接点，如果是它，那么就完成；如果不是它，那么假定故障发生点在前，即第1个接点到第3个接点之间；最后检查第1个接点到第3个接点中间的一个接点，即第2个接点，如果是它，那么就完成；如果不是它，故障发生点在前面，即第1个接点；故障发生点在后面，即第3个接点。所以一般至少要检查接点的个数为3个。 例3. 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了一个小球重量不合标准外，其余的小球重量均相同。用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重。如何称？分析：可以通过二分法的思想来处理这种不对称的问题。解：第一次，左右各4球放上天平。有两种可能： （1）若平，则“坏球”在天平外的4球中。第二次，取此4球的3球为一边，取三个好球为另一边，放上天平。若仍平，则“坏球”为4球中未取的那个球，将此球与好球放在天平上一看，即知“好球”是轻还是重；若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重。任取其中2球放上天平，无论平还是不平，均可确定“坏球”； （2）若不平，“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重。第二次，从右边4球取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边，有三种可能。（1）若平。则“坏球”是容器内3球之一且偏重；（2）右边轻。“坏球”已从一边换到另一边，因此“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；（3）仍是右边重。据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有2个（左右各一），“坏球”是其中之一（暂不知是轻还是重）。显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重。九. 指数函数及应用（一）指数函数及其图像的几点疑问 1. 为什么在指数函数中规定“a0且a1”？答：这样规定主要有两个目的：使函数的定义域为R；使函数具有单调性。（1）若a=0，则没有意义，且x0时，不能做到定义域到值域上的一一映射。（2）若a1时，图象显现“撇”形，如曲线，；当0a1时，图象显现“捺”形，如曲线C3，C4，它们恒过定点（0，1）。（2）底数“大小”的规律在y轴的右侧，底数增大从低到高，即图象位置高对应的底数也大，如图相对应曲线的底数分别为a ， b ， c ， d，则有0dc1ba；在y轴左侧，底数增大从高到低，即图象位置越高，对应的底数就越小。（3）“无限渐近”规律函数，当0a1时，它是R上的增函数，且向x轴负方向“无限渐近”。 3. 函数与函数的图象有何关系？答：若已知的图象，则有（1）k0时，将的图象向左平移k个单位长度，可得的图象； k0时，将的图象向上平移k个单位长度，可得的图象； k0时，0.7a 0.8a，当x=a 0.8a。评注：对于不同底数而同指数的指数值大小的比较，利用图象法求解快捷而准确。 3. 媒介法 例3. 比较的大小。解：评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介）分别与要比较的数比较大小，从而可间接地比较出要比较的数的大小。 4. 比商法 例4. 比较的大小。解：ab0 评注：当底数与指数都不同、中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，看其值大于1还是小于1。从而确定所求比值的大小，当然一般情况下，这两个值最好都是正数。（三）指数函数单调性的应用指数函数的单调性分两种情况：当a1时，在R上单调递增；当0a1时， 0a1时，单调递减， 所以a的值为 2. 比较大小 例6. 已知，比较m，n的大小。分析：底相同的两个幂可视为指数函数的两个不同的函数值，可运用指数性质来比较。解：因为为减函数因为，所以m1时，y(t)是增函数，则在上，递增；当0a1时，增区间为；0a1时，的减区间为； 当0a0，al)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记为=b，其中a叫做对数的底数，N叫真数对数运算常用公式： （1）； （2）； （3）； （4） （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备： 1. 有指对数互化的意识 由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。 例1. 已知，求的值。 解：由，得 则 2. 有根据换底公式，换为同底的意识 对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运算中，底数往往不同，而换底公式的主要功能是将底数不相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数的运算公式。 例2. 计算 解：=12 例3. 设，试用a，b表示log4256。 解： 3. 有和、积互化的意识 指数运算的特点是将运算“升格”，即加法“升”为乘法，乘“升”为乘方，而对数运算恰恰相反，是“降格”，即乘法“降”为加法，乘方“降”为乘法。因此在对数运算时，要注意和、积互化。 例4. 设2lg(x2y)=lgx+lgy，求的值。 解：由2lg(x2y)=lgx+lgy，得x0，y0，x2y0 所以 即 解得x=y或x=4y 由于x2y，故x=y舍去 4. 有整体（换元）意识 当一对数关系式中，有对数的乘方、又有对数的乘积或加减法，不能直接运算时，可考虑用换元法，将某一个对数值进行整体考虑，转化为我们常见的题目加以求解。 例5. 已知，求函数的最大值和最小值 解：由，解得 即 又 所以，当，即时，y取得最小值；当，即x=8时，y取得最大值2。十一. 幂函数的性质及应用一般地，形如的函数称为幂函数，其中a为常数。（一）性质归纳：幂函数中，当时性质如下表所示：结合以上特征，得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点（1，1）；（2）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数；（3）如果a0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（4）如果a0，则幂函数在区间上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴的右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。（二）应用 例1. 不论a取何值，函数的图象都通过A点，求A点的坐标。解析：幂函数的图象恒通过（1，1），所以图象恒通过点（2，1）所以的图象恒过点（2，1）。 例2. 已知函数，m为何值时，f(x)为（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。解：（1）若f(x)为正比例函数，则，解得m=1（2）若f(x)为反比例函数，则，解得m=1（3）若f(x)为二次函数，则（4）若f(x)为幂函数，则十二. 函数的应用（一）函数应用题的常见类型 1. 分段函数模型问题 例1. 某班学生从学校出发，以4km/h的速度去某地活动，出发后2h，学校有急事需要通知该班，派通讯员骑车以12km/h的速度沿同样路线追赶该班，追到后将通知交给该班，立即以8km/h的速度返回学校，试写出通讯员距学校的距离S(km)与时间t(h)之间的函数关系式。解析：需求出通讯员出发到追上该班所需要的时间和距离，由于追击问题的基本关系是：路程差=时间速度差时间=（h），此时距学校12km，返回时共用时间（h）所以追该班时返回时 2. 正比例函数模型问题 例2. 某电子设备批发商在进一批电子设备时进价已按原价打了八折，他打算对这批货定一新货在价目表上，并注明按该价降价40%销售，这样仍可获20%的纯利，求这个批发商给这批电子设备的新价格和原价格之间的函数关系。解析：如果设原价格为x元，新价格为y元，则该批发商进这批货的成本是80%x元，销售收入是元，由获纯利20%得y与x的函数关系。设原价格为x元，新价格为y元，则 3. 一次函数模型问题 例3. A市和B市分别有某种仪器12台和6台，现在决定把这些仪器支援给C市10台，D市8台，已知从A市搬运一台仪器到C市、D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台仪器到C市、D市的运费分别为300元和500元。（1）设从B市调往C市仪器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？分析：根据题设，先分别求出A市和B市的运费，进而求得函数关系式W=f(x)，最后解（2）和（3）。解：（1）由于从B市运往C市仪器x台，则运往D市仪器为台，其需运费元；且从A市运往C市仪器为台，运往D市仪器为台，共需运费元两部分运费相加得W=200x8600，其中（2）因为W=200x86009000，解得，所以x=0，1，2；故共有三种调运方案（3）因为W=，欲使W最低，显然要x=0最低运费为8600元，方案为B市的6台全部运往D市，A市的12台运往C市为10台，运往D市为2台。 4. 二次函数模型问题 例4. 如图所示，某房地产公司在矩形拆迁地ABCD中规划一块矩形地面PQCR建造住宅小公园，为了保护文物，公园又不能超越文物保护区AEF的界线EF，由实地测量知，AB=200米，AD=160米，AE=60米，AF=40米，问：怎样设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？分析：由题意可知，点Q、R必定分别在边BC、CD上，但点P可能在DF上则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形FQCD；假设点P在BE上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形EBCR，因此，只需求出点P在EF上，矩形PQCR的最大面积，然后加以比较便知。解：设点P在EF上，PQ=x米，则延长QP交AF于G，则因为GPFAEF，所以所以所以所以（米）时，最大此时米，最大值为24067米2而，所以故设计矩形公园的长PQ为190米，宽PR约为126.67米时，其面积最大，最大面积约为24067米2。（二）函数应用最值问题函数应用问题和函数最值问题一直是高中数学的重点知识，同时也是高考的重点和热点，在高考试卷中几乎年年都出现，下面我们谈一谈函数应用题中最值问题的求解策略。 1. 利用函数的单调性求函数的最值 例5. 在某商品的制造过程中，次品率p依据于日产量x，已知。其中x为正整数，该厂每生产出一件正品可盈利A元，但每生产出一件次品就要亏损元。（1）将该厂的日盈利额T（元）表示为日产量x（个）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？解：（1）设日产量为x个，则次品为xp个，正品为个于是日盈利额因为时，p=1，产品全部是次品，工厂一定亏本，不合题意所以所以。（）（2）设函数可化为因为0x100，所以1t0）的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差。（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（2）利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？（3）你认为本题中边际利润函数MP(x)取得最大值的实际意义是什么？解：由题意知，且（1） （2）当x=62或x=63时，（元）因为是减函数所以当x=1时，（元）因此，利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值。（3）边际利润函数MP(x)当x=1时取得最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即第二台报警系统利润最大，由于MP(x)=248040x是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差相比在减少。一. 选择题 1. 已知Ayy243，R，Byy1，R，则AB（ ） A. 或 B. C. （，），（，） D. 或 2. 函数的定义域是（ ） A. 的一切实数 B. 且的一切实数 C. 的一切实数 D. 且且的一切实数 3. 已知函数f()满足2f()f()32，且f(2)，则f(2)（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 设集合A和B都是坐标平面上的点集（，），映射f：AB使集合A中的元素（，）映射成集合B中的元素（，），则在映射f下象（2，）的原象是（ ） A. （3，） B. （） C. （） D. （，3） 6. 一旅馆有100间相同的客房，经过一段时间经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系： 要使每天的收入最高，每间房定价应为（ ） A. 100元 B. 90元 C. 80元 D. 60元 7. 函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（ ） A. B. C. D. 10. 已知f(x)（A）（B）2并且 ，是函数f（）的两个零点，则实数A，B，的大小关系可能是（ ） A. AB B. AB C. AB D. AB 11. 的值是（ ） A. 15 B. 16 C. D. 12. 若函数在（1，0）上有，则（ ） A. 在（，0）上是增函数 B. 在（，0）上是减函数 C. 在（，1）上是增函数 D. 在（，1）上是减函数二. 填空题13. 二次函数且的最小值为，则的取值范围是_。 14. 函数的定义域是_ 15. _。 16. 关于的方程2k23k的两根一个大于，一个小于，则实数的取值范围为_。三. 解答题 17. 已知集合25，k2k，求满足的实数k的取值范围。 18. 求函数在2，5上的最大值和最小值 19. 已知是奇函数，且当时，求当时的表达式 20. 某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示： 该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费 若每月用量不超过最低限度A米3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元，若用气量超过A米3，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元，根据上面的表格求A、B、C。 21. 设a0，在R上满足 （1）求a的值； （2）证明在（0，）