求整体值的若干技巧学法指导

求整体值的若干技巧徐祝庆在数学学习中，有关求方程的整体解与某些变量的整体值的问题屡见不鲜，这类问题由于其结构特殊，形式各异，学生求解时常感到束手无策，难以突破。其实解这类数学问题，视其不同情况也可归纳出一些方法与规律来，下面就介绍几种常见形式与解题方法，与大家共磋。一、直接构造整体并求值例1 已知的值。分析：此例根据其结构特征，发现等式左边可以进行因式分解，且分解以后得到的因式正是我们所需要的整体，这样我们就可以对方程左边进行因式分解，直接求得其整体值，当然解决此例的方法很多，在下面还有介绍。解：原方程可化为因为，所以故例2 在ABC中，已知：求角的大小。分析：从已知与求解形式观察，按常规思维方式比较容易想到对已知三角函数式进行恒等变形，从中构造出的三角函数，进而求出的大小，但这里这样做有点困难，此时，我们还会想到利用三角函数的诱导公式对问题进行适当的变换处理。看一看能否得以解决。解：在三角形ABC中，所以由于经三角恒等变形即有在三角形ABC中，故有此式可看成关于cosA的一元二次方程，经配方可得：由平方数的非负性及三角形知识可得：所以故又由于故所以评注：上述两例均是通过凑整求得其整体值的，但也不是所有的问题都可照此办理，如例2，若将问题变式为：求角的大小，以上方法求解就十分困难了。一般地说，当所求的整体难以构造或构造了这样的整体后难以求得其值时，可考虑采取先求个体值再求整体值。二、先求个体值再求整体值例3 在三角形ABC中，已知：，求角的大小。解：由于可得：（同上）。由平方数的非负性及三角形知识可得：所以评注：以上是先求个体值再求整体值的一个具体例子，其实这样的例题很多，一般来说，能先求个体值再求整体值的问题，往往是利用平方数、绝对值等的非负性、变量的有界性、均值不等式当且仅当等式成立条件、二次式中判别式非负等特性来解决。下面一个例题留给读者思考。例 已知：x、，且求xy的值。三、利用函数性质求整体值例4 已知：求分析：此例用前述方法求解很难奏效，仔细观察方程的结构特征，可以发现方程是关于及x的二个5次、二个1次，适当整理后可以把原方程化为形式，由此联想到构造函数，利用函数的性质来进行求解。解：由已知可得：令显然f(x)是奇函数，原式可化为又函数f(x)在定义域内单调递增，所以所以例5 （1998年希望杯数学邀请赛试题）若x、且满足方程和求解：考察函数则由已知可知：故有又由于x、容易证明f(x)在此区间上是单调递增函数，故有即所以评注：例5若是想通过求解各个方程来达到最后的目的，显然是十分困难的，也是很不现实的，解决这类问题的关键在于如何把相关知识有机地联系起来，进行巧妙地构思和变换，充分利用各块知识各自的特点，进行分析处理。四、利用换元求整体值例6 已知：分析：方程的特点是两个连等式中含有三个未知数，且为齐次式，求解这类整体值的方法较多，而这些方法中，引进比例参数换元求解最为简单。解：令则所以例7 已知求的值（同例1）此例利用凑整进行求解是一种方法，但根据问题本身的特点，也可以利用整体换元的办法来求解。解：令则代入原方程化简可得：所以或 若这与矛盾！所以即五、利用特值猜想、分析证明求得其整体值例8 是满足等式的两个锐角，求的值。分析：观察等式两边可发现结构较为特殊，不妨先用特殊值来试验一下，如取等式成立。这样有是否满足等式条件的都有呢？下面就来证明这一事实。解：由已知等式可得：因为所以取值符号相同或同时为0，若即有由此推得即有11，矛盾！，若同样可推得11这一矛盾！故有根据的取值范围可得六、利用图像求整体值例9 已知且满足：求的值。解：由可得：由于故观察图像可知：关于直线对称，故评注：此题虽然也可以通过求解三角方程来解决，但由于角因此在求解过程中需要展开讨论，麻烦是不小的，而通过图像显示，其解的特征一目了然。例10 已知方程的根为，方程的根为，求解：方程（1）可化为：它的解就是函数与函数图象交点A的横坐标。方程（2）可化为：它的解就是函数与函数的交点B横坐标。而函数与函数又是互为反函数，故点A与B关于直线对称，且A、B两点又都在直线上，容易求得直线与直线的交点横坐标故评注：此例与上例一样，纯粹用代数方法也是难以求解的，它一方面需要把方程与函数两者有机地联系起来，另一方面还要建立一种数形结合的思想，充分利用方程的结构特征及函数图象自身特点进行综合探求。从以上所举一些例题与解题方法中可以看出，求方程的整体解与某些变量的