高一数学抽象函数的周期与对称轴人教知识点分析

用心 爱心 专心 高一数学高一数学抽象函数的周期与对称轴抽象函数的周期与对称轴人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 抽象函数的周期与对称轴 二. 教学重、难点 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。 难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。 三. 具体内容 1. 若则的周期为 T。)()(Txfxf)(xf 2. 若则的周期为)()(xbfaxf)(xfabT 证：令 axx)()(abxfxf 3. 则的周期)()(bxfaxf)(xfabT 2 证：令 axx)()(abxfxf 令 bxx)()(xfbaxf 由得：)()(abxfbaxf )()(abxfbaxfabT 2 4. 若则图象的对称轴为)()(xbfxaf)(xf 2 ba x 证：要证原结论成立，只需证) 2 () 2 (x ba fx ba f 令代入x ab x 2 )()(xbfxaf 则) 2 () 2 (x ba fx ba f 5. 若则的图象，以为对称中心。)()(xbfxaf)(xf)0, 2 ( ba 证： 方法一：要证原结论成立只需证) 2 () 2 (x ba fx ba f 令代入 2 ab xx )()(xbfxaf 用心 爱心 专心 则) 2 () 2 (x ba fx ba f 方法二：设它的图象为 C)(xfy 则 P 关于点的对称点CyxP),( 00 )0, 2 ( ba ),( 00 yxbaP )()()()( 0000 xfxbbfxbafxbaf 00) (yxf 00) (yxbafCP 【典型例题典型例题】 例 1 对于，有下列命题。)(xfy Rx （1）在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。)1 (xfy)1 (xfy1x （2）若且均成立，则为偶函数。)1 ()1 (xfxf)2()2(xfxf)(xf （3）若恒成立，则为周期函数。) 1() 1(xfxf)(xfy （4）若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中)(xf)( x afy 0a1a 正确的为？ 解：解：（2） （3） 例 2 若函数有求。 3 )()(axxfRx)1 ()1 (xfxf)2()2( ff 解：解： ，知的图象关于对称Rx)1 ()1 (xfxf)(xf)0,1 ( 而的对称中心 3 )()(axxf)0,( aP 1a 则 3 ) 1()( xxf26)3(1)2()2( 3 ff 例 3 设是定义在 R 上的函数，均有当时)(xfRx0)2()(xfxf11x ，求当时，的解析式。12)(xxf31 x)(xf 解：解：由有得Rx)2()(xfxf4T 设则3,1 (x 1,1()2(x 用心 爱心 专心 )()2()42()2(xfxfxfxf 52 1)2(2)2()(xxxfxf 时31 x52)(xxf 例 4 已知是定义在 R 上的函数且满足，当时有)(xf1) 1()(xfxf 1,0x 则 2 )(xxf （1）是周期函数且周期为 2)(xf （2）当时，2,1 x 2 2)(xxxf （3）其中正确的是？ 4 3 )5,2004(f 解：解：（1） （2） （3） 例 5 已知满足，当时，)(xf)2()2(xfxf)4()4(xfxf26x 且，若，求、cbxxxf 2 )(13)4(f) 3 (bfm ) 2 (cfn )11(fp mn 的大小关系？p 解：解：由已知得，对称轴 也为一条对称轴4T4x4x 由 4 2 b 8b13)4(f13 4 644 c 3c ， ) 3 8 (fm ) 2 3 (fn )3()11(ffppmn 例 6 定义在 R 上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且)(xf)(xf 当时，求的值。 2 ,0 xxxfsin)() 3 5 (f 解：解： 2 3 3 sin) 3 () 3 () 3 2 () 3 2 () 3 5 ( fffff 例 7 设定义在 R 上，有且当时，)(xfy Rnm ，)()()(nfmfnmf0x 1)(0xf （1）求证：且当时，1)0(f0x1)(xf 用心 爱心 专心 （2）求证：在 R 上递减。)(xf 解：解： （1）在中，令，得)()()(nfmfnmf1m0n)0() 1 () 1 (fff 1) 1 (0 f1)0(f 设，则令，代入条件式0x0 xxm xn 有而 )()()0(xfxff1)0(f1 )( 1 )( xf xf （2）设则 21 xx 0 12 xx1)(0 12 xxf 令，则代入条件式得即 1 xm 2 xnm 12 xxn)()()( 1212 xxfxfxf 在 R 上递减1 )( )( 0 1 2 xf xf )()( 12 xfxf)(xf 【模拟试题模拟试题】 一. 选择 1. 已知满足，且是奇函数，若则)(xf)()3(xfxfRx)(xf2) 1 (f （ ）)2000(f A. B. C. D. 222323 2. 已知是定义在 R 上的偶函数，且对任何实数均成立，当)(xf)()4(xfxf 时，当时，（ ）20 xxxf)(400398 x)(xf A. B. C. D. 400x398xx400 x398 3. 若函数，都有则等于（ )sin(3)(xxfRx) 6 () 6 (xfxf ) 6 (f ） A. 0 B. 3 C. D. 3 或33 4. 函数是（ ）)2 2 3 cos(xy A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数2 C. 周期为的奇函数D. 周期为的奇函数4 5. 的图象关于 y 轴对称的充要条件是（ ）)2sin(2)(xxf A. B. C. D. 2 2 k k2 2 k k 用心 爱心 专心 6. 如果且则可以是（ ）)()(xfxf)()(xfxf)(xf A. B. C. D. x2sinxcosxsinxsin 7. 为偶函数的充要条件是（ ）)cos(3)sin(xxy A. B. C. D. 3 2 k 6 k 6 2 k 6 k 8. 设是 R 上的奇函数，当时，则)(xf)()2(xfxf10 xxxf)( （ ）)5 . 7(f A. 0.5 B. C. 1.5 D. 5 . 05 . 1 9. 设，有那么（ ）cbxxxf 2 )(tx)2()2(tftf A. B. )4() 1 ()2(fff)4()2() 1 (fff C. D. ) 1 ()4()2(fff) 1 ()2()4(fff 10. 定义在 R 上，则与的图象关于（ ）)(xfy ) 1( xfy)1 (xfy A. 对称 B. 对称 C. 对称 D. 对称0y0x1y1x 二. 填空 1. 是 R 上的奇函数，且，则)(xf)()2(xfxf)3()2()(fff 。)2003(f 2. 函数的图象的对称轴中最靠近 y 轴的是 。) 3 2sin( xy 3. 为奇函数，且当时，则当时 。)(xf0x2)(xxxf0x)(xf 4. 偶函数的定义域为 R，且在上是增函数，则)(xf)0,( （1）) 1() 4 3 ( 2 aaff （2）) 1() 4 3 ( 2 aaff （3）) 1() 4 3 ( 2 aaff （4）中正确的是 。) 1() 4 3 ( 2 aaff 用心 爱心 专心 三. 解答题 1. 设是定义在 R 上的偶函数，图象关于对称，、都有)(xf1x 1 x 2 1 ,0 2 x 且)()()( 2121 xfxfxxf0) 1 ( af （1）求、) 2 1 (f) 4 1 (f （2）证明：是周期函数)(xf 2. 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足)(xfy ax )(babx )()(2xfxbaf 3. 已知对任意实数 t 都有，比较与的cbxxxf 2 )()1 ()1 (tftf) 2 1 (f)2(f 大小。 4. 定义在实数集上的函数，对一切实数 x 都有成立，若方程)(xf)2()1 (xfxf 仅有 101 个不同实根，求所有实根之和。0)(xf 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一. 1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10. D 二. 1. 0 2. 3. 4.（2） 12 x2xx 三. 1. 解： （1） 都有 2 1 ,0, 21 xx)()()( 2121 xfxfxxf 0) 2 () 2 ()( x f x fxf 1,0x 2 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 () 2 1 2 1 () 1 (fffff ， 2 1 ) 2 1 (af 2 ) 4 1 () 4 1 4 1 () 2 1 (fff 4 1 ) 4 1 (af （2）由已知关于对称)(xf1x 即，)11 ()(xfxf)2()(xfxfRx 又由是偶函数知，)(xf)()(xfxfRx ，将上式中以代换得)2()(xfxfRxxx)2()(xfxf 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期)(xf 2. 证： 关于和对称 ，)(xfax bx )2()(xafxf)2()(xbfxf 令，则)2()2(xbfxafAxb2Abaxa)(22 即)()(2AfAbaf)()(2xfxbaf 3. 解：由知抛物线的对称轴是 1)1 ()1 (tftfcbxxxf