高一数学数列综合提高知识精讲

高一数学数列综合提高【本讲主要内容】数列综合提高数列综合问题，数列的实际应用【知识掌握】【知识点精析】本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想善于使用各种数学思想解答数列问题，是我们复习应达到的目标 函数思想：等差等比数列的通项公式，求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决 【解题方法指导】例1. 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1、3、9就成等比数列，求这三个数分析：利用等差数列及等比数列的性质解：设这三个正数分别为其中为公差，则有由题意可得，即，解得或由题意舍故这三个正数分别为3，5，7例2. （2005 北京 文17）数列的前项和为，且，1，2，3，求：（I）的值及数列的通项公式；（II）的值分析：利用已知条件，确定的关系解：（I）由，1，2，3，得，由（n2），得（n2），又，所以=（n2）， 数列的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为，项数为n的等比数列， =例3. 已知等差数列的前项的和为，且，（I）求的通项公式；（II）设，求证：数列为等比数列；分析：利用等差数列的前项和的公式（I）解：由题意可得，解得 ， （II）证明：，而=，数列是以为首项，以为公比的等比数列【考点突破】【考点指要】高考试题中考查数列知识的解答题多是综合性问题，常将数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等内容综合起来考查考查形式多样，可以是小题（选择题、填空题），也可以是大题形式出现，所占的分值为514分（1）探索性问题在高考中出现的频率较高，一般有两种形式：不知问题的结论，需经过自己去发现、去探索，从而得出结论具体的思维过程是“观察分析归纳假设推理论证”其中观察分析是基础，猜想是关键“是否存在”型问题解决这类问题的思路是：假设满足题设条件的对象存在，在此基础上，或寻找出对象存在的条件，从而肯定假设，或推导出与题设或事实矛盾的结论，从而推翻假设（2）数列型应用问题也是高考考查的热点，解题思想主要有以下几点：读题分析哪些构成等差数列，哪些构成等比数列，有无递推关系式；明确是求数列通项，还是求数列前n项和，还是求递推公式；将问题转化成数列问题解决【典型例题分析】例1. （2005上海卷理20题）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米?（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列， 其中，则 令，即，而是正整数， 到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，其中， ，则 由题意可知，有 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%评述：本题主要考查学生运用所学数列知识解决实际问题的能力，以及数学建模能力例2. （2005全国卷文18题） 已知是各项为不同的正数的等差数列，成等差数列，又，n=1，2，3（）证明为等比数列；（）如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差（）证明：成等差数列，即 又设等差数列的公差为d，则 ，解得，从而 ，而因此， 是首项 ，公比为的等比数列（II）解： ， 例3. （2005湖南卷理20题） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（III）设a2，b1，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得因为x10，所以ab猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变 （）若b的值使得xn0，nN*由xn+1=xn（3bxn）， nN*， 知0xn3b， nN*， 特别地，有0x13b 即0b0又因为xk+1=xk（2xk）=（xk1）2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1评述：本题考查函数、数列的递推关系、不等式以及数学归纳法等基础知识，考查知识的综合运用和解决问题的创新能力切入点是递推关系的得出，以及对b通过特殊情况的猜出【综合测试】一、选择题：1. 已知等差数列中，的值是（ ）A. 15B. 30C. 31D. 642. 如果a1， a2， ，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则有（ ）A. a1a8a4a5B. a1a8a4+a5D. a1a8=a4a53. 设是等差数列的前项和，若则（ ）A. B. C. D. 4. 设是公差为正数的等差数列，若，则A. B. C. D. 5. 若，则数列（ ）A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列C. 是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列又不是等比数列6. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 12二、填空题：7. 数列，满足则的前10项和等于_8. 若数列的和大于90，则该数列至少有_项，9. 数列中，若则_10. 等差数列中，等比数列中，则_三、解答题 11. 已知数列满足（I）求证：数列是等差数列；（II）求数列的通项公式12. （2005湖南卷文16题）已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）证明综合测试答案一、 选择题：1. A提示：利用等差数列的性质， 若m+n=p+q则2. B3. D 提示：利用等差数列的前项和公式4. B5. A 提示：利用等差中项的性质6. A 提示：利用等差中项及等比中项的性质二、填空题：7. . 解析：因为