江苏南京建邺高级中学高三数学第一轮复习《第14课时导数的概念及其运算》学案

第14课时 导数的概念及其运算【考点概述】了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义能根据导数定义，求函数的导数能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数【重点难点】：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数【基础梳理】1. 平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为 .2. 函数在处的导数设函数在区间上有定义，当无限趋近于时，比值 ，无限趋近于一个常数，则称在点处可导，并称该常数为函数在点处的 ，记作 .3. 导数的几何、物理意义(1)导数的几何意义就是曲线在点处的 . 即k=.(2) 设s=s（t）是位移函数，则表示物体在t=t0时刻的_.(3)设v=v（t）是速度函数，则表示物体在t=t0时刻的_.4. 导函数（导数）若对于区间内任一点都可导，则在各点的导数也随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为 ，记作 .5. 基本初等函数的导数公式（1） (为常数)； （2） ； (3) ； (4) ； (5) (6) ；(7) ； (8) .6. 导数的四则运算法则(1) = ； (2) = ；(3) =_ _ （c为常数）； (4) = （g（x）0）.【热身练习】1 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点（1+x,2+y）,则=_.2一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是 米/秒. （选修1-1练习1改编）3.曲线在点处的切线的倾斜角为 4（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .5.设，若且，则 【范例透析】【例1】神舟飞船发射后的一段时间内，第ts时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4.其中h的单位为m，t的单位是s.(1) 求第1s内的平均速度； (2) 求第ts末的瞬时速度（t）；(3) 经过多长时间飞船的速度达到75ms?【变式拓展】已知函数f（x）=x2-x在区间1,t上的平均变化率是2，求t的值.【例2】已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求的值。【例3】求下列函数的导数:(1) y=(2x2+3)(1-3x); (2); (3) ; (4) (5).【例4】利用导数定义证明，并求过点的曲线的切线方程。【方法规律总结】1函数在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数.2对于函数求导，一般遵循先化简再求导的基本原则.3 注意函数f（x）在点x0处的导数与导函数的区别与联系.4求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的方法注意：要验证直线x=x0是否也是所求直线，防止漏解.5. 求曲线y=f(x)过点Q（x0,y0）的切线方程设A（x,y）为切点，切线的斜率为k，则有_，联立方程组可求解.【巩固练习】1.已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻时的速度为 2已知函数, 则等于_.3.曲线在点（1,0）处的切线方程为_ _4.设，若，则_5函数的导数是_6 函数y=lnx上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值是_7 函数y=f（x）的图象在点M(1,f(1)处的切线方程是y=3x-2，则f(1)+ =_8设函数f（x）=x3+ax2-9x-1(a0).若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行.则 a= ； 切线方程为 。9.已知曲线。（1） 求曲线在x=2处的切线方程 ；（2） 求曲线过点（2，4）的切线方程 10.已知函数f（x）=(xR)的图象为曲线C（1） 求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围.（2） 若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.（3） 试问是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，请说明理由 导数的概念及其运算参考答案【热身练习】1. 答案：x+2 2. 答案： 3.答案：45 4.答案：（-2，15） 5 . 答案：【范例透析】【例】答案。(1) = =80 m/s. (2) v（t）=h（t）=15t2+60t+45.(3) t=-2(s).【变式拓展】答案。t=2.例2解： ，。抛物线在点处与直线相切，且过点.例3解：(1) (2) ;(3) ; (4) 。 例4证明：设，因为，且当时，所以。设切点为，则 ，解得，所以； 所以切线方程为，即。【巩固练习】1. 答案： 2答案： 3. 答案： 4. 答案： 5答案： 6. 7. 4 8.（1） a=-3. (2) 12x+y=0. 9.（1） 4x-y-4=0.（2） 4x-y-4=0或x-y+2=0.10.（1） 因为f（x）=x2-4x+3，所以f（x）=（x-2）2-1-1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是-1,+).（2） 由（1）可知，解得-1k0或k1.由-1x2-4x+30或x2-4x+31,得x(-,2-2（1,3）2+2,+).（3） 不存在.假设存在过点A(x1,y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，x1x2，则切线方程是y-=（x21-4x1+3）（x-x1），化简得：y=（x21-4x1+3）x+.而过B(x2,y2)的切线方程是y=（x22-4x2+3）x+，由于两条切线是同条一直线，所以x21-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4.且-x31+2x21=-x32+2x22，即-（x1-x2）（x21+x1x2+x22）+2