江苏南京建邺高级中学高三数学第一轮复习《第16课时导数的应用2》学案

第16课时 导数的应用（二）【考点概述】会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次会利用导数解决某些实际问题。【重点难点】：求闭区间上函数的最大值、最小值；利用导数解决生活中的优化问题。【知识扫描】1. 利用导数求函数在上的最大值与最小值的步骤求函数在内的 .将函数的各极值与 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.2. 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：【热身练习】1. 函数在区间1，5上的最大值是 .2. 函数的最大值是 。3. （原创题）已知点P(2,2)在曲线yax3bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，则函数f(x)ax3bx，x的值域为_4. 已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是 .5. 用长为90，宽为48的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为_时，容器的容积最大. （选修1-1P79 例1改编）【典例导航】【例1】设函数在及时取极值.（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.【变式训练】.已知函数（）求的极值；（）当时，恒成立，求实数的取值范围【例2】(2010南京市期末) 已知函数在点处的切线方程为求函数的解析式；若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；【例3】 已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称.（1） 求b的值；（2） 若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域.【例4】(2010常州市期末)工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入（元）与当天生产的件数（件）之间有以下关系：设当天利润为元. 写出关于的函数关系式；要使当天利润最大，当天应生产多少件零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）总结规律1. 注意极值与最值的区别与联系.区别:极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效；联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值（可取到的话）中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2. 要掌握将不等式的证明、方程根的个数判定、恒成立问题等转化为函数最值问题来处理.【应用提升】1. 函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_2. 函数y=xex在区间-2,0上的最小值是 .3. 若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M、N，则MN的值为 .4已知，在上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为_。5.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_6.函数在的最小值为 .7.已知函数(1)求在处的切线方程；(2)求在区间上的最大值和最小值第16课时 导数的应用（二）参考答案【热身练习】1.答案： 2.答案： 3. 答案：2,18 4.答案： m 解析：因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2.令f(x)0得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.5.答案：10 解析：设容器的高为，即小正方形的边长为，则该容器的容积为。，当时，；当时，。所以在上是增函数，上是减函数，故当时，最大.【典例导航】【例1】解：（），.1分因为函数在及取得极值，则有，.3分即解得，.6分（）由（）可知，7分当时，；当时，； 当时， 9分所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为.11分因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此c的取值范围为14分【变式训练】解：（）由得，或，由得，如下表+00+极值极大极小当时， ，当时，。（）由（）知,在区间和上递增,在区间上递减,， 。当时，最大值是，若恒成立，须， 范围是。【例2】解： 根据题意，得即解得所以令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时， 则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4 【例3】解：（1） f（x）=3x2+2bx+c.因为函数f（x）的图象关于直线x=2对称，所以-=2，于是b=-6.（2） 由（1）知，f（x）=x3-6x2+cx，f（x）=3x2-12x+c=3（x-2）2+c-12. 当c12时，f（x）0，此时f（x）无极值. 当c0，所以f（x）在区间（-,x1）内为增函数；当x1xx2时，f（x）x2时，f（x）0，所以f（x）在区间（x2,+）内为增函数.所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值.因此，当且仅当c2.于是g（t）的定义域为（2,+）.由f（t）=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t.于是g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t（2,+）.当t2时，g（t）=-6t2+12t=6t（2-t）0,所以函数g（t）在区间（2,+）内是减函数.故g（t）的值域为（-,8）.【例4】解：当时，；当时，设函数当时，令，得。当时，；当时，。当时，；当时，令，得。当时，；当时，。当时，。，综合知，当时，取得最大值。故要使当天利润最大，当天应生产件零件。【应用提升】1.答案：8 2.