高一数学立体几何基础题二

高一数学立体几何基础题题库二76. 如图，已知求证al解析：77. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）解析：78. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD（14分）解析：79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（nm）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。（1）求证：ABMN；（2）求证：MN的长是定值（14分）解析：80. 已知：平面与平面相交于直线a，直线b与、都平行，求证：ba证明：在a上取点P，b和P确定平面设与交于，与交于 b且b b且b 与重合，而， ，实际上是、a三线重合， ab81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab a b b在外：ab b a a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行证明：过a作平面与交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行已知：a、b是两个平面，直线la，lb，垂足分别为A、B求证：ab思路1：根据判定定理证证法1：过l作平面g ，agAC，bgBD，过l作平面d，adAE，bdBF，lalAClblBD ACBDACb，l、AC、BD共面同理AEb，ACAEf ，AC，AEa ，故ab思路2：根据面面平行的定义，用反证法证法2：设a、b有公共点P则l与P确定平面g，且agAP，bgBPlalAPlblBPl、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的故a、b不能有公共点， ab83. 已知：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，ab，ba求证：ab证法1：在a上任取点P，显然Pbb于是b和点P确定平面g且g 与a 有公共点P a gb且b和a交于P， ba ， bb bb而ab这样a 内相交直线a和b都平行于b ab证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面g ，g b，过AB和a作平面d ，baaaabbbABaABa，ABbABb于是ABa 且ABb， ab84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，、r是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D) 解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选A85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )P(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P点的位置而定解析：由题设知B1MAN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NCAMC1，NP平面B1NC， NP平面AMC1答案选B86. 已知：正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a(1) 求证：平面A1BD平面B1D1C；(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离证明：(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中， BB1平行且等于DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形， BDB1D1， BD平面B1D1C同理 A1B平面B1D1C，又A1BBD=B， 平面A1BD平面B1D1C解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于NAC是AC1在平面AC上的射影，又ACBD， AC1BD，同理可证，AC1A1B， AC1平面A1BD，即MN平面A1BD，同理可证MN平面B1D1C MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E M平面A1BD，MAC1平面A1C， MA1E同理NCF在矩形AA1C1C中，见图921(2)，由平面几何知识得， 评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点(1) 求证AB1平面C1BD；(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离证明：(1) 设B1CBC1=O连DO，则O是B1C的中点在ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点 DOAB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， AB1平面C1BD解：(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， BDAC，且BDCC1， BD平面AC1，平面C1BD平面AC1，C1D是交线在平面AC1内作AHC1D，垂足是H， AH平面C1BD，又AB1平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在RtC1DC中，DC=4，CC1=6，在RtDAH中，ADH=C1DC 即AB1到平面C1BD的距离是评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离88. 已知：直线a平面求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作bb在外，在内， b而a a，b确定的平面过a且平行于 过a，b的平面只有一个， 过a平行于平面的平面也只有一个89. 已知平面、其中=l，=a，=，a，=b，=，b上述条件能否保证有？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有不足以保证如右图如果添加条件a与b是相交直线，那么证明如下：aabb a，b是内两条相交直线， 90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，b a、b a、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，a P，P，故P为和的公共点又c 由公理2知Pc a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，a ac且ab abc 故a、b、c两两平行. 由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.91. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAE EFB1M，B1M平面BB1C1C EF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBC FHBC，BCBB1C1C FH平面BB1C1C由FHAD可得 又BFB1E，BDAB1 EHB1B，B1B平面BB1C1C EH平面BB1C1C，EHFHH 平面FHE平面BB1C1C EF平面FHE EF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.92. 已知：平面平面，线段AB分别交、于点M、N；线段AD分别交、于点C、D；线段BF分别交、于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.解析：如图，面AND分别交、于MC，ND，因为，故MCND，同理MFNE，得 FMCEND， NDMC（m+p)：m和ENFMn(n+p)SENDSFMC得SENDSFMC(m+p)(n+p)=(m+p)2END的面积为(m+p)2平方单位.93. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MNB1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN平面ABB1A1.94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求证：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求点B到平面EFG的距离解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC（2）可证BD平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG95. 已知：ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点求证：BE不可能垂直于平面SCD解析：用到反证法，假设BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，这与RtSAB中SBA为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD96. 已知PA，PB，PC与平面所成的角分别为60，45，30，PO平面，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且ABBC10cm，求PO的长解析：97. 已知：如图，AS平面SBC，SO平面ABC于O，求证：AOBC解析：连结AO，证明BC平面ASO98. 已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点求证：MNAB解析：连结MB、MA，证明MBMA99. 已知：如图，平面a 平面b 直线l，Aa ，ABb ，Bb ，BCa ，Ca，求证：ACl证明： ABb ，lb lAB BCa ，la lBC ABBCB l平面ABC AC平面ABC lAC100. 已知：如图，P是BAC所在平面外一点，PDAB，D为垂足，PEAC，E为垂足，在平面BAC内过D作DFAB，过E作EFAC，使得EFDFF连结PF，求证：PF平面BAC证明：PDAB，DFAB，PDDFDAB平面PDFPF平面PDF ABPF同理，ACPF PFAB，PFAC，BAACA PF平面BAC101. 是ABC在平面上的射影，那么和ABC的大小关系是( )(A) ABC(C) ABC (D) 不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等102. 已知: 如图, ABC中, ACB = 90, CD平面, AD, BD和平面所成的角分别为30和45, CD = h, 求: D点到直线AB的距离。解析：1、先找出点D到直线AB的距离, 即过D点作 DEAB, 从图形以及条件可知, 若把DE放在ABD中不易求解。2、由于CD平面, 把DE转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面内的射影长。解: 连AC, BC, 过D作DEAB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。CD AC, BC分别是AD, BD在内的射影。DAC, DBC分别是AD和BD与平面所成的角DAC = 30, DBC = 45 在RtACD中,CD = h, DAC = 30 AC = 在RtBCD中CD = h, DBC = 45 BC = hCD, DEABCEAB在RtACB中 在RtDCE中,点D到直线AB的距离为。103. 已知a、b、c是平面内相交于一点O的三条直线，而直线l和相交，并且和a、b、c三条直线成等角求证：l证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO设l经过O，在l上取一点P，在POA、POB、POC中， PO公用，AO = BO = CO，POA =POB=POC， POAPOBPOC PA = PB = PC取AB中点D连结OD、PD，则ODAB，PDAB， AB平面POD PO平面POD POAB同理可证 POBC ， PO，即l若l不经过O时，可经过O作l用上述方法证明， l证法二：采用反证法假设l不和垂直，则l和斜交于O同证法一，得到PA = PB = PC过P作于，则，O是ABC的外心因为O也是ABC的外心，这样，ABC有两个外心，这是不可能的 假设l不和垂直是不成立的 l若l不经过O点时，过O作l，用上述同样的方法可证， l评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法104. P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面上的射影（1）若PA = PB = PC，则O是ABC的_心（2）若点P到ABC的三边的距离相等，则O是ABC_心（3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是ABC_心（4）若ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是ABC的_心（5）若ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是ABC的_心（6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是ABC的_心；解析：（1）外心 PA=PB=PC， OA=OB=OC， O是ABC的外心（2）内心（或旁心）作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，连结PD、PE、PF PO平面ABC， OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PDAB，PEBC，PFAC由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF， O是ABC的内心（如图答9-23）（3）垂心（4）外心（5）外心 （6）外心PA与平面ABC所成的角为PAO，在PAO、PBO、PCO中，PO是公共边，POA=POB=POC=90，PAO=PBO=PCO， PAOPBOPCO， OA=OB=OC， O为ABC的外心（此外心又在等腰三角形的底边高线上）105. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上求证：分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证平面，只须证且AD因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了证明：由题意，又斜线在平面ABCD上的射影是BA， BAAD，由三垂线定理，得， 平面，而平面 106. 已知异面直线l1和l2，l1l2，MN是l1和l2的公垂线，MN = 4，Al1，Bl2，AM = BN = 2，O是MN中点 求l1与OB的成角求A点到OB距离分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中OB在底面上射影NBCD，由三垂线定理，OBCD，又CDMA， OBMA 即OB与l1成90（2）连结BO并延长交上底面于E点ME = BN， ME = 2，又 ON = 2 作AQBE，连结MQ对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQEO在RtMEO中，评述：又在RtAMQ中，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的107. 已知各棱长均为a的正四面体ABCD，E是AD边的中点，连结CE求CE与底面BCD所成角的正弦值解析：作AH底面BCD，垂足H是正BCD中心，连DH延长交BC于F，则平面AHD平面BCD，作EOHD于O，连结EC，则ECO是EC与底面BCD所成的角则EO底面BCD， 108. 已知四面体SABC中，SA底面ABC，ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影求证：H不可能是SBC的垂心分析：本题因不易直接证明，故采用反证法证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BHSC AH平面SBC， BH是AB在平面SBC内的射影 SCAB（三垂线定理）又 SA底面ABC，AC是SC在面内的