函数基本性质难题集萃30题(附详细解析)

2015年03月27日的高中数学组卷一选择题（共19小题）1已知函数f（x）=aex2x2a，a1，2，若函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，则（）Ap，qBp，qCp2，q1Dp1，q02已知a为实数，函数f（x）=x2|x2ax2|在区间（，1）和（2，+）上单调递增，则a的取值范围为（）A1，8B3，8C1，3D1，83已知函数f（x）=exax1，若x0（0，+），使得f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围是（）A（0，+）B（0，1）C（1，+）D1，+）4设f（x）=在区间2，2上最大值为4，则实数a的取值范围为（）Aln2，+B0，ln2C（，0D（，ln25已知函数f（x）=在区间0，+）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+）6已知定义在R上的奇函数y=f（x），对于xR都有f（1+x）=f（1x），当1x0时，f（x）=log2（x），则函数g（x）=f（x）2在（0，8）内所有的零点之和为（）A6B8C10D127函数f（x）=+对称中心为（）A（4，6）B（2，3）C（4，3）D（2，6）8已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递减，若不等式f（ax+lnx+1）+f（axlnx1）2f（1）对x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，eB，+）C，eD，9已知定义域为R的函数f（x）在（2，+）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x1）f（x+1）0的解集为（）A（，）（2，+）B（，2）C（，）（2，+）D（，2）10如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）ABCD11已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m4e），若有且仅有两个整数使得f（x）0，则实数m的取值范围是（）A（，2B，）C，）D4e，）12点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）ABCD13在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、bR，a*b=b*a；（2）对任意a、bR，a*0=a；（3）对任意a、bR，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）2c关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为奇函数；函数f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+）其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D314设f（x）满足：任意xR，有f（x）+f（2x）=0；当x1时，f（x）=|xa|1，（a0），若xR，恒有f（x）f（xm），则m的取值范围是（）A（0，+）B（4，+）C（3，+）D（5，+）15若函数，则f（f（1）的值为（）A10B10C2D216若函数f（x）在定义域上存在区间a，b（ab0），使f（x）在a，b上值域为，则称f（x）在a，b上具有“反衬性”下列函数f（x）=x+ f（x）=x2+4x f（x）=sinx f（x）=，具有“反衬性”的为|（）ABCD17函数f（x）=（+2）（+1）的值域是（）A2+，8B2+，+）C2，+）D2+，418已知函数f（x）=1，g（x）=lnx，对于任意m，都存在n（0，+），使得f（m）=g（n），则nm的最小值为（）AeB1CD19已知函数f（x）=（x）cosx，x，且x0，则下列描述正确的是（）A函数f（x）为偶函数B函数f（x）在（0，）上有最大值无最小值C函数f（x）有2个不同的零点D函数f（x）在（，0）上单调递减二解答题（共10小题）20已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）21已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围22已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2（f（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：（n2，nN*）23已知函数，a为正常数（1）若f（x）=lnx+（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2（0，2，x1x2，都有，求a的取值范围24已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x（0，e时，证明：25设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令F（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围26设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）27已知函数f（x）=x2alnx在区间（1，2内是增函数，g（x）=xa在区间（0，1内是减函数（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x0时，方程f（x）g（x）=x22x+3有唯一解；（3）当b1时，若f（x）2bx在x（0，1内恒成立，求b的取值范围28已知函数f（x）=，g（x）=（）|xm|，其中mR且m0（）判断函数f（x）的单调性；（）当m2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间2，2上的最值；（）设函数h（x）=，当m2时，若对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围29对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意xR，不等式f（x）kx+mg（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，aR为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由2015年03月27日的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共19小题）1（2016衡阳县模拟）已知函数f（x）=aex2x2a，a1，2，若函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，则（）Ap，qBp，qCp2，q1Dp1，q0【分析】构造函数g（a）=（ex2）a2x，a1，2，由x0，ln2，可得ex1，2看做关于a的因此函数可得：g（x）max=g（1）=ex22x，g（x）min=g（2）=2ex42xx0，ln2函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，利用q=ex22x，p=2ex42xx0，ln2利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出【解答】解：构造函数g（a）=（ex2）a2x，a1，2，由x0，ln2，可得ex1，2g（a）在a1，2上单调递减，g（a）max=g（1）=ex22x，g（a）min=g（2）=2ex42xx0，ln2函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，q=ex22x，p=2ex42xx0，ln2q=ex20，函数q（x）单调递减，q（ln2）qq（0），2ln2q1p=2ex20，函数p（x）单调递增，p（ln2）pp（0），2ln2p2综上可得：p2，q1故选：C【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题2（2016义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2|x2ax2|在区间（，1）和（2，+）上单调递增，则a的取值范围为（）A1，8B3，8C1，3D1，8【分析】根据绝对值的应用，将函数进行转化，结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，结合函数的单调性的性质进行讨论判断【解答】解：令函数g（x）=x2ax2，由于g（x）的判别式=a2+80，故函数g（x）一定有两个零点，设为x1 和x2，且 x1x2函数f（x）=x2|x2ax2|=，故当x（，x1）、（x2，+）时，函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x（x1，x2 ）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2ax2下凹的一部分，且各段连在一起由于f（x）在区间（，1）和（2，+）上单调递增，a0且函数g（x）较小的零点x1=1，即a+2，平方得a2+4a+4a2+8，得a1，同时由y=2x2ax2的对称轴为x=，若且12，可得4a8综上可得，1a8，故实a的取值范围为1，8，故选：A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据绝对值的意义转化为一元二次函数，利用一元二次函数和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大3（2016衡水校级二模）已知函数f（x）=exax1，若x0（0，+），使得f（lgx0）f（x0）成立，则a的取值范围是（）A（0，+）B（0，1）C（1，+）D1，+）【分析】可知lgx0x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f（x）=exa，从而可判断f（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a=ex有解，这样由指数函数y=ex的单调性即可得出a的取值范围【解答】解：lgx0x0；要满足x0（0，+），使f（lgx0）f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；f（x）=exa；x（0，+）时，f（x）0不恒成立，即f（x）不是减函数；只能f（x）存在极值点，f（x）=0有解，即a=ex有解；a（1，+）；即a的取值范围为（1，+）故选：C【点评】考查函数y=lgx和y=x图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性4（2016洛阳二模）设f（x）=在区间2，2上最大值为4，则实数a的取值范围为（）Aln2，+B0，ln2C（，0D（，ln2【分析】分别求出函数在2x0和（0，2的最大值，进行比较即可得到结论【解答】解：当2x0时f（x）=4x3+6x2+2，则f（x）=12x2+12x=12x（x+1），由f（x）0得2x1，由f（x）0得1x0，则当x=1时，函数f（x）取得极大值，此时f（1）=4+6+2=4；当x0时，f（x）=2eax，若a=0，则f（x）=24，若a0，则函数f（x）在（0，2上为减函数，则f（x）f（0）=2，此时函数的最大值小于4，若a0，则函数在（0，2为增函数，此时函数的最大值为f（2）=2e2a，要使f（x）在区间2，2上最大值为4，则2e2a4，即e2a2，得2aln2，则aln2，综上所述，aln2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的表达式分别求出对应区间上的最大值，进行比较是解决本题的关键5（2016春赣州校级期中）已知函数f（x）=在区间0，+）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+）【分析】由求导公式和法则求出f（x），化简后对a进行分类讨论，分别利用导数在定义域内求出函数的单调区间、最值，再求出实数a的取值范围【解答】解：由题意得，=，（1）当a=1时，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上递减，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上递增，f（x）在区间0，+）上有极小值f（2）=，f（0）=a=1，且=0，f（x）在区间0，+）上有最大值f（0）=a=1，成立；（2）当a1时，由f（x）=0得x=2或0，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上递减，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）在（0，2）上递增，f（x）在区间0，+）上有极小值f（2）=，f（0）=a1，且=1，f（x）在区间0，+）上有最大值f（0）=a，成立；（3）当a1时，由f（x）=0得x=2或，当a=时，有2=，f（x）0，则f（x）在区间0，+）上递减，f（x）在区间0，+）上的最大值是f（0）=a，成立，当时，有2，当x（2，）时，f（x）0，则f（x）在区间（2，）上递增，当x（，+）、（0，2）时，f（x）0，则f（x）在区间（，+）、（0，2）上递减，f（x）在区间0，+）上的极大值是f（）=，又f（0）=a，由题意得a，解得0a1，即成立，当时，有2，当x（，2）时，f（x）0，则f（x）在区间（，2）上递增，当x（2，+）时，f（x）0，则f（x）在区间（2，+）上递减，f（x）在区间0，+）上的极大值是f（2）=，又f（0）=a，由题意得a，解得a，即，综上可得，a的取值范围是，故选：D【点评】本题考查了导数与函数的单调性、最值的关系，考查分类讨论思想和极限思想的应用，属于难题6（2016安徽二模）已知定义在R上的奇函数y=f（x），对于xR都有f（1+x）=f（1x），当1x0时，f（x）=log2（x），则函数g（x）=f（x）2在（0，8）内所有的零点之和为（）A6B8C10D12【分析】根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解【解答】解：奇函数y=f（x），对于xR都有f（1+x）=f（1x），f（1+x）=f（1x）=f（x1），则f（2+x）=f（x），即f（4+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数若0x1，则1x0，则f（x）=log2x=f（x），则f（x）=log2x，0x1，若1x2，则1x20，f（2+x）=f（x），f（x）=f（x2），则f（x）=f（x2）=log2（2x），1x2，若2x3，则0x21，f（x）=f（x2）=log2（x2），2x3，由g（x）=f（x）2=0得f（x）=2，作出函数f（x）在（0，8）内的图象如图：由图象知f（x）与y=2在（0，8）内只有4个交点，当0x1时，由f（x）=log2x=2，得x=，当1x2时，由f（x）=log2（2x）=2得x=，则在区间（4，5）内的函数零点x=4+=，在区间（5，6）内的函数零点x=+4=，则在（0，8）内的零点之和为+=12故在（0，8）内所有的零点之12，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键7（2016武汉模拟）函数f（x）=+对称中心为（）A（4，6）B（2，3）C（4，3）D（2，6）【分析】由已知中函数f（x）=+，可得6f（4x）=f（x），结合函数图象对称变换法则，可得函数图象的对称中心【解答】解：函数f（x）=+=3（），6f（4x）=6（+）=6（+）=3（），6f（4x）=f（x），即函数f（x）=+对称中心为（2，3），故选：B【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称性，函数图象的对称变换，难度较大8（2016邵阳三模）已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递减，若不等式f（ax+lnx+1）+f（axlnx1）2f（1）对x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，eB，+）C，eD，【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0axlnx2对x1，3恒成立令g（x）=axlnx，则由 g（x）=a=0，求得x=分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递减，f（x）在（，0）上单调递增，若不等式f（ax+lnx+1）+f（axlnx1）2f（1）对x1，3恒成立，则2f（axlnx1）2f（1）对x1，3恒成立，即f（axlnx1）f（1）对x1，3恒成立1axlnx11 对x1，3恒成立，即0axlnx2对x1，3恒成立令g（x）=axlnx，则由 g（x）=a=0，求得x=当1，即 a0 或a1时，g（x）0在1，3上恒成立，g（x）为增函数，最小值g（1）=a0，最大值g（3）=3aln32，0a，综合可得，1a当3，即0a时，g（x）0在1，3上恒成立，g（x）为减函数，最大值 g（1）=a2，最小值g（3）=3aln30，a2，综合可得，a无解当13，即 a1时，在1，）上，g（x）0恒成立，g（x）为减函数；在（，3上，g（x）0恒成立，g（x）为增函数故函数的最小值为g（）=1ln，g（1）=a，g（3）=3aln3，g（3）g（1）=2aln3若 2aln30，即lna1，g（3）g（1）0，则最大值为g（3）=3aln3，此时，由1ln0，g（3）=3aln32，求得 a，综合可得，lna1若2aln30，即aln3=ln，g（3）g（1）0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1ln0，最大值g（1）=a2，求得a2，综合可得aln综合可得，1a 或lna1或 aln，即 a，故选：D【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题9（2016江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x1）f（x+1）0的解集为（）A（，）（2，+）B（，2）C（，）（2，+）D（，2）【分析】根据函数的单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：定义域为R的函数f（x）在（2，+）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+）上为减函数，由f（2x1）f（x+1）0得f（2x1）f（x+1），即f（2x3+2）f（x1+2），即|2x3|x1|，平方整理得3x210x+80，即x2，即不等式的解集为（，2），故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度10（2016张掖校级模拟）如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可【解答】解：线段MN的长度为1，线段MN的中点P，AP=，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，即周长=+4x2+2x2=6x+4，面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为，f（x）=6x+4=，是一个开口向下的抛物线，对应的图象为C，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大11（2016成都校级模拟）已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m4e），若有且仅有两个整数使得f（x）0，则实数m的取值范围是（）A（，2B，）C，）D4e，）【分析】根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=mx，h（x）=（3x+1）ex+1，利用g（x）h（x）的整数解只有2个，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：由f（x）0得（3x+1）ex+1+mx0，即mx（3x+1）ex+1，设g（x）=mx，h（x）=（3x+1）ex+1，h（x）=（3ex+1+（3x+1）ex+1）=（3x+4）ex+1，由h（x）0得（3x+4）0，即x，由h（x）0得（3x+4）0，即x，即当x=时，函数h（x）取得极大值，当m0时，满足g（x）h（x）的整数解超过2个，不满足条件当m0时，要使g（x）h（x）的整数解只有2个，则满足，即，即，即m，即实数m的取值范围是，），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及利用构造法，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键12（2016通州区一模）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）ABCD【分析】根据O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象，由图象可知函数值随自变量的变化成轴对称性并且变化圆滑由此即可排除A、CD【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：点P运动到周长的一半时，OP最大；点P的运动图象是抛物线设点M为周长的一半，A当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件，B满足条件C当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件，DOMOP，不符合条件，并且OP的距离不是对称变化的，因此排除选项D故选：B【点评】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点考查学生分析问题的能力13（2016栖霞市校级模拟）在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、bR，a*b=b*a；（2）对任意a、bR，a*0=a；（3）对任意a、bR，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）2c关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为奇函数；函数f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+）其中所有正确说法的个数为（）A0B1C2D3【分析】根据条件在中令c=0得到a*b=ab+a+b从而得到f（x）的表达式，结合函数的奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可【解答】解：由新运算“*”的定义令c=0，则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+bf（x）=x*=1+x+，当x0时，f（x）=x*=1+x+1+2=1+2=3，当且仅当x=，即x=1时取等号，在（0，+）上函数f（x）的最小值为3；故正确，函数的定义域为（，0）（0，+），f（1）=1+1+1=3，f（1）=111=1，f（1）f（1）且f（1）f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故错误，函数的f（x）=1，令f（x）=0则x=1，当x（，1）或（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调递增区间为（，1）、（1，+）故正确；故正确的是，故选：C【点评】本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质，根据条件令c=0求出函数的解析式是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度14（2016四川模拟）设f（x）满足：任意xR，有f（x）+f（2x）=0；当x1时，f（x）=|xa|1，（a0），若xR，恒有f（x）f（xm），则m的取值范围是（）A（0，+）B（4，+）C（3，+）D（5，+）【分析】根据函数的对称性求出a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及图象关系进行平移计算即可【解答】解：任意xR，有f（x）+f（2x）=0，f（2x）=f（x），则函数关于（1，0）点对称，当x=1时，f（1）+f（21）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，当x1时，f（x）=|xa|1，f（1）=|1a|1=0，则|a1|=1，则a1=1或a1=1，则a=2或a=0，a0，a=2，即当x1时，f（x）=|x2|1当x1时，x1，2x1，即f（x）=f（2x）=（|2x2|1）=1|x|，x1，作出函数f（x）的图象如图：若f（x）f（xm），则由图象知，将函数f（x）向右平移m个单位即可，由图象知，m4，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的应用，根据函数的对称性求出函数的解析式，以及利用图象平移是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度15（2016赤峰模拟）若函数，则f（f（1）的值为（）A10B10C2D2【分析】先求f（1），再求f（f（1）即可【解答】解：f（1）=24=2，f（f（1）=f（2）=2（2）+2=2，故选C【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用16（2016春义乌市期末）若函数f（x）在定义域上存在区间a，b（ab0），使f（x）在a，b上值域为，则称f（x）在a，b上具有“反衬性”下列函数f（x）=x+ f（x）=x2+4x f（x）=sinx f（x）=，具有“反衬性”的为|（）ABCD【分析】根据条件得到若函数在区间a，b上具有“反衬性”，则等价为在区间a，b上，函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减即可，作出对应的图象，利用数形结合进行判断即可【解答】解：若函数f（x）在定义域上存在区间a，b（ab0），使f（x）在a，b上值域为，则等价为函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减即可若f（x）=x+，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，则f（x）具有“反衬性”，若f（x）=x2+4x，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，但函数在交点对应的区间上不具单调性，则f（x）不具有“反衬性”， f（x）=sinx，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上单调递减，则f（x）具有“反衬性”，f（x）=，当2x3时，f（x）=f（x1）=|x2|+1=|x2|+，当3x4时，f（x）=f（x1）=|x3|+=|x2|+，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上不单调递减，则f（x）不具有“反衬性”，综上具有“反衬性”的函数是，故选：B【点评】本题主要考查与函数有关的新定义题目，正确理解条件结合数形结合，转化为函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减是解决本题的关键综合性较强，难度较大17（2016春杭州期末）函数f（x）=（+2）（+1）的值域是（）A2+，8B2+，+）C2，+）D2+，4【分析】容易得出f（x）的定义域为1，1，并设，两边平方，根据x的范围即可求出，且得出，从而得出，求导，根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域【解答】解：f（x）的定义域为1，1；设，则；1x1；01x21，；2t24；，且，设y=f（x）；，令y=0得，或0；在上单调递增；时，y取最小值，t=2时，y取最大值8；原函数的值域为故选A【点评】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，结合二次函数的图象求二次函数的值域，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数最值的方法18（2016春华蓥市期末）已知函数f（x）=1，g（x）=lnx，对于任意m，都存在n（0，+），使得f（m）=g（n），则nm的最小值为（）AeB1CD【分析】由题意可得1=lnn；从而可得n=；令1=t，t1；则m=t，从而得到y=nm=ett+；求导求函数的最小值即可【解答】解：由m知11；由f（m）=g（n）可化为1=lnn；故n=；令1=t，t1；则m=t，则y=nm=ett+；故y=et+t1在（，1上是增函数，且y=0时，t=0；故y=nm=ett+在t=0时有最小值，故nm的最小值为1；故选：B【点评】本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键19（2016春湖州期末）已知函数f（x）=（x）cosx，x，且x0，则下列描述正确的是（）A函数f（x）为偶函数B函数f（x）在（0，）上有最大值无最小值C函数f（x）有2个不同的零点D函数f（x）在（，0）上单调递减【分析】A根据函数奇偶性的定义进行判断，B将函数分解为g（x）=x，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性和符号，进行判断，C根据函数零点的定义解方程f（x）=0进行判断，D将函数分解为g（x）=x，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性即可【解答】解：A函数的定义域关于原点对称，则f（x）=（x+）cosx=（x）cosx=f（x），即函数f（x）为奇函数故A错误，B当x（0，）时，设g（x）=x，h（x）=cosx，当x（0，1时，g（x）0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）0，此时f（x）为增函数，当x（1，）时，g（x）0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）0，此时f（x）0，当x，）时，g（x）0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）0，此时f（x）0，则函数f（x）为减函数无最小值，则函数存在极大值，同时也是最大值，故B正确，C由f（x）=（x）cosx=cosx=0得cosx=0或x21=0，即x=1或x=或x=，即函数f（x）有4个不同的零点，故C错误，D当x（，0）时，设g（x）=x，h（x）=cosx，当x（，）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）0，g（x）0，此时f（x）为减函数，当x（1，）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）0，g（x）0，此时f（x）为增函数，故函数f（x）在（，0）上不单调，故D错误，故选：B【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性，单调性以及函数与方程的应用，综合性较强，难度较大二解答题（共10小题）20（2014新课标II）已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g（x）0是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0，函数f（x）在R上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，g（x）0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，x0时，g（x）0，符合题意当b2时，若x满足2ex+ex2b2即，得，此时，g（x）0，又由g（0）=0知，当时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值为0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的21（2013新课标）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围【分析】（）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）kg（x）恒成立，从而求出k的范围【解答】解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）设F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由题设得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值为F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2时F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，则F（x）=2e2（x+2）（exe2），从而当x（2，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当x2时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2时，F（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以当x2时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是1，e2【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题22（2016商丘三模）已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2（f（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：（n2，nN*）【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解【解答】解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0