河北省邢台市2017_2018学年高二数学下学期第三次月考试题理（含解析） (1)

邢台市20172018学年高二（下）第三次月考数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由于复数为纯虚数，则其实部为零，虚部不为零，故可得关于x的条件，再与“”比较范围大小即可求得结果.详解：由于复数为纯虚数，则，解得，故“”是“复数为纯虚数”的充要条件，故选C.点睛：该题考查的是有关复数是纯虚数的条件，根据题意列出相应的式子，从而求得结果，属于简单题目.2. 圆的圆心的直角坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，得出圆心坐标详解：=8sin化为2=8sin，x2+y2=8y，配方为x2+(y-4)2=16，圆心坐标为（0，4），故选A.点睛：本题考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程互化，属于基础题3. 已知集合A=1,2,3,4,5，B=5,8,9，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）A. 8 B. 12 C. 14 D. 15【答案】C【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：C41C21=8种，第二类：当集合中有元素5：C41+C21=6种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.4. (2xy)4的展开式的中间项为（ ）A. 8 B. 8xy3 C. 24 D. 24x2y2【答案】D【解析】分析：原式张开一共有5项，故只需求出第三项即可.详解：由题可得展开式的中中间项为第3项，故：C42(2x)2(-y)2=24x2y2，选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题5. 某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,2)，已知P(X122)=0.96，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（ ）A. 4 B. 6 C. 94 D. 96【答案】A【解析】分析：根据正态分布的意义可得P(X122)=0.04,P(X122)=0.04,又对称轴为85，故P(X48)=0.04，故成绩小于48分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道P(X0,f(x)0可得f（x）在（-2,1）单调递增，在(,2),(1,+)递减，故令t=x2，则f(t)=m，要使f(x2)=m有四个不同的实数解，即要使f(t)=m由两个不同的正根即可，故f(0)m0(x0)，则（ ）A. 6f(1)3f(2)2f(3) B. 3f(2)2f(3)6f(1)C. 6f(1)2f(3)3f(2) D. 2f(3)3f(2)6f(1)【答案】D【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可详解：设g（x）=x2f(x)，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x0时，g（x）=x(2f(x)xf(x)f2(x)，因为函数f（x）满足2f（x）-xf（x）0（x0），所以g（x）0，所以g（x）是增函数，g(3)=3f(3)g(2)=2f(2)3f(-2)6f(-1)故选：D.点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 在直角坐标系xOy中，若直线：x=ty=ta（为参数）过椭圆C：x=4cosy=5sin（为参数）的左顶点，则a=_【答案】4【解析】分析：直接化参数方程为普通方程，得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的左顶点，代入直线的方程，即可求得的值.详解：由已知可得圆C:x=4cosy=sin（为参数）化为普通方程，可得x216+y2=1，故左顶点为(4,0)，直线x=ty=ta（为参数）化为普通方程，可得y=xa，又点(4,0)在直线上，故0=4a，解得a=4，故答案是4.点睛：该题考查的是有关直线的参数方程与椭圆的参数方程的问题，在解题的过程中，需要将参数方程化为普通方程，所以就需要掌握参数方程向普通方程的转化-消参，之后要明确椭圆的左顶点的坐标，以及点在直线上的条件，从而求得参数的值.14. 设复数满足z(1+i)=i3，则的虚部为_【答案】2【解析】分析：把题中给出的式子z(1+i)=i3，两边同时乘以11+i，之后利用复数的除法运算法则，求得结果，从而确定出其虚部的值.详解：由z(1+i)=i3得z=i31+i=(i3)(1i)(1+i)(1i)=ii23+3i2=1+2i，所以的虚部为2，故答案是2.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的虚部，这就要求对运算法则要掌握并能熟练的应用，再者就是对有关概念要明确.15. 某商品的售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：价格x（元）99.51010.511销售量y（件）1110865销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是y=(a4)x+50a，则a=_【答案】0.8【解析】分析：根据回归直线过样本中心点(x,y)，求出平均数，代入回归直线方程，求出a=0.8，从而得到答案.详解：根据题意得x=9+9.5+10+10.5+115=10，y=11+10+8+6+55=8，因为回归直线过样本中心点(x,y)，所以有8=(a4)10+50a，解得a=0.8，所以答案是0.8.点睛：该题考查的就是回归直线的特征：回归直线过样本中心点，即均值点，所以在求解的过程中，需要分别算出样本点的横纵坐标，代入回归直线方程中，求得对应的参数的值.16. 若函数f(x)=(-ax+2)ex在R上单调递增，则的取值范围是_【答案】2,2.【解析】分析：（I）先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+20恒成立，下面只要二次函数的根的判别式0即可求得a的取值范围；详解：f（x）=exx2+（-a+2）x-a+2，考虑到ex0恒成立且x2系数为正，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+20恒成立（-a+2）2-4（-a+2）0，-2a2，即a的取值范围是-2，2 .点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力属于基础题17. 在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线y=2x与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为_（取ln2=0.7）.【答案】0.91【解析】分析：先用定积分求出阴影部分的面积，再根据几何概率计算公式即可得.详解：由题得阴影部分的面积：122xdx=2lnx|12=2ln2，矩形面积为：2，所以这两点中都不落在阴影部分的概率为：(22ln22)2=0.09，故这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为1-0.09=0.91，故答案为：0.91点睛：本题考查几何概型，明确测度比为面积比的关键，是基础题18. 现有3个大人，3个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有_种（用数字作答）【答案】360【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360.点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosy=1+2sin（为参数），直线的参数方程为x=12ty=1+32t（为参数），且直线与曲线C交于A，B两点，以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2） 已知点P的极坐标为(1,32)，求1PA+1PB的值.【答案】（1）24cos2sin+1=0（2）1+32 【解析】分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程(x-2)2+(y-1)2=4，整理得到x2+y2-4x-2y+1=0，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；(2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.详解：（1）C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4，整理得x2+y2-4x-2y+1=0，所以曲线C的极坐标方程为2-4cos-2sin+1=0.（2）点P的直角坐标为(0,-1)，设A，B两点对应的参数为t1，t2，将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中得(12t-2)2+(-1+32t-1)2=4，整理得t2-(2+23)t+4=0.所以t1+t2=2+23t1t2=4，且易知t10，t20，由参数的几何意义可知，PA=t1，PB=t2，所以1PA+1PB=1t1+1t2=1t1+1t2 =t1+t2t1t2=1+32.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.20. 某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷.（1）以频率为概率，若从这100名观众中随机抽取2名进行调查，求这2名观众中体育迷人数X的分布列；（2）若抽取100人中有女性55人，其中女体育迷有10人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系吗？附表及公式：P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.【答案】（1）见解析（2）不能【解析】分析：（1）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是为14，由于XB（3，14），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可（2）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论.解：（1）由图可得，观众为体育迷的概率为14，X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=(34)2=916.P(X=1)=C211434=38.P(X=2)=(14)2=116.故X的分布为X012P91638116（2）由题意得如下22列联表：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100K2的观测值k=100(3010-4515)275254555 =100333.841，故不能在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系.点睛：本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型21. （1）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，且sin(A+C)=3cosB，证明：c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)；（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为，b，斜边长为，则斜边上的高h=abc.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体ABCD中，若三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则该四面体的高H与S，S1，S2，S3之间的关系是什么？（用S，S1，S2，S3表示H）【答案】（1）见解析（2）H=2S1S2S3S【解析】分析：(1)首先根据题中的条件sin(A+C)=3cosB，求得B=3，从而可以将所要证明的式子转化，应用分析法证得结果；(2)根据题中的条件，类比着平面三角形的面积，可以推出空间几何体三棱锥的体积对应的结果，在解题的过程中，注意将三棱锥的侧面面积分别写出来，应用体积公式以及各个方程之间的关系，从而求得结果.详解：（1）证明：由sin(A+C)=3cosB，得tanB=3，则B=3.要证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，只需证c2+bc+a2+ab=ab+ac+b2+bc，即证c2+a2-b2=ac，只需证c2+a2-b22ac=12，即证cosB=12.而B=3，cosB=12显然成立，故c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c).（2）解：记该四面体A-BCD的三条侧棱长分别为，b，不妨设S1=12ab，S2=12bc，S3=12ac，由13SH=13S1c，得H=S1cS，于是H=S12c2S=14a2b2c2S =2(12ab)(12bc)(12ac)S，即H=2S1S2S3S.点睛：该题考查的是有关推理证明求解的问题，在解题的过程中，注意对式子的等价转化的思想以及转化的能力的培养，再者就是在第二问找其关系的时候，可以应用三个式子相乘再化简.22. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.【答案】（1）247256. （2）选择第二种方案更划算.【解析】试题分析：（1）根据条件可得若选择方案二优惠，即至少有一次摸出的是幸运球，其对立事件是三次都没有摸出幸运球，其概率为P=223444=316 ，那么两个人至少有一个人选择方案二优惠的概率为1(316)2；（2）选择方案一的价格为9.4 （万元），选择方案二，先列出付款金额X的分布列，求X的期望，然后再比较.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A，则P(A)=223444=316，故所求概率P=1-P(A)P(A)=1-(316)2=247256 （2）若选择方案一，则需付款10-0.6=9.4（万元） 若选择方案二，设付款金额为X万元，则X可能的取值为6,7,8,10，P(X=6)=221444=116,P(X=7)=223+221+221444=516，P(X=8)=223+223+221444=716，P(X=10)=316， 故X的分布列为X67810P116516716316所以E(X)=6116+7516+8716+10316=7.9375（万元）1时，在(0,aa21)和(a+a21,+)上f(x)单调递增，在(aa21,a+a21)上f(x)单调递减. (2)证明见解析.【解析】分析：（1）分析单调性首先确定定义域，然后求导得f(x)=1-2ax+1x2=x2-2ax+1x2，再确定分子的符号即可得出单调性，此时二次函数的对称轴未知所以可结合二次函数图形进行分析讨论；（2）因为当a=1时，f(x)=x-2lnx-1x+1，由（1）可知f(x)在区间(0,+)上单调递增.又易知f(1)=1