高三数学6利用向量法求空间角和距离

6利用向量法求空间角和距离 1向量法求异面直线所成的角【例1】 (15郑州市期末) 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.【解析】以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.【评注】用向量求解异面直线所成角，利用坐标运算求解，公式计算要准确. 设两异面直线所成的角为分别是的方向向量，则有异面直线所成角的范围是，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角就为为锐角或直角【变式1】正三棱锥中利用向量的坐标运算求异面直线所成的角在正三棱锥PABC中，底面正ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求异面直线AC和BD所成的角余弦值ABCPDOxyz1. 【解析】以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系因是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则，D是PA的中点，故， ，【例2】 （2012陕西理）三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_【解析】选准基底，由题意知，.又CAA1BAA1BAC60，设边长、侧棱长为1，则2()22223，所以|，同理可得|.21，所以cos.【评注】求异面直线所成角可以借助向量运算求解.关键是选取合适的基底，利用基向量法和线性运算以及数量积，沟通角与向量之间的关系求解。【变式1】两种常用方法求异面直线所成的角在三棱锥S ABC中，SAB = SAC =ACB = 90，AC = 2，BC =，SB =.则异面直线SC与AB所成的角的余弦为 【解析1】 利用向量之间的转化，由题中的已知条件，容易计算得到|= 4，|=.图10ABCSyxz而=cosCAB = 2 = 4，据此有cos=.【解析2】 利用向量的坐标运算，如图10建立直角坐标系，则点A、B的坐标分别为A(2, 0, 0)、B(0,0)。由SAB = SAC =ACB = 90，可知SA面ABC，SCB = 90。于是SC =，SA =，因此点S的坐标为(2, 0,2).由此可得= (2, 0, 2)，= (2, , 0)，从而有cos =，于是异面直线SC与AB所成角的大小为arccos。2.利用向量法求解异面直线之间的距离【例3】 如图，正方体的棱长为2，C、D、P、Q分别是棱的中点， A、B、M、N、E、F是顶点, 则CD和EQ的距离是 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，,设截面EFPQ法向量为，即，可得，而，可见也是截面ABCD的法向量因此截面EFPQ/截面ABCD，点D到截面EFPQ的距离是则CD和EQ是异面直线,所以CD和EQ的距离也是【评注】利用向量的运算求解异面直线之间的距离，是将异面直线之间的距离转换为两平行平面的距离，再转化