河北省武邑中学2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题文（含解析） (1)

河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试数学（文史）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D.2.设（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可详解：复数z=i1+i3=i1i=i1+i1i1+i=1+i2, z=1+i2=22. 故选A. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）A. 3B. 32C. 0D. -3【答案】A【解析】试题分析：第一次循环：a1=32,S=32,第二次循环：a2=32,S=3，第三次循环：a3=0,S=3,第四次循环：a4=32,S=32,第五次循环：a5=32,S=0,第六次循环：a2=0,S=0,第七次循环：a2=32,S=32,第八次循环：a8=32,S=3,此时i=98，结束循环，输出S=3，选A.考点：循环结构流程图4.已知直线m、n与平面、，下列命题正确的是（ ）A. m，n/且，则mnB. m，n且，则mnC. =m，nm且，则nD. m/，n/且/，则m/n【答案】B【解析】【分析】根据线面平行与垂直关系逐一判断选择.【详解】A.m，n/且，则m,n位置关系不定；B.若 ，则，的法向量相互垂直，而m，n，则m,n的方向向量分别为，的一个法向量，所以mn；C.当n时，且=m，nm，才可推出n；D.m/，n/且/，则m,n位置关系不定；综上选B.【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析推证能力，属中档题.5.已知等差数列an的前n项为Sn，bn=2an且b1+b3=17，b2+b4=68，则S10=( )A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】A【解析】分析：bn是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设an公差为d，b2+b4b1+b3=2a2+2a42a1+2a3=2a1+d+2a3+d2a1+2a3=2d=6817=4，d=2，b1+b3=2a1+2a3=2a1+2a1+2d=17，2a1=1，a1=0，S10=10a1+1092d=10922=90，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如an是等差数列，则aan是等比数列，如an是等比数列且均为正，则logaan是等差数列.6.设函数fx=sin2x+4，则下列结论错误的是（ ）A. fx的一个周期为2B. fx图形关于直线x=8对称C. fx的一个零点为x=8D. fx在区间0,4上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数fx的最小正周期为T=22=，则函数的周期为：T=kkN*，取k=2可得函数的一个周期为2；函数图象的对称轴满足：2x+4=k+2kZ，则：x=k2+8kZ，令k=0可得函数的一条对称轴为x=8；函数的零点满足：2x+4=kkZ，则：x=k28kZ，令k=0可得函数的一个零点为x=8；若x0,4，则2x+44,34，则函数在0,4上不具有单调性；本题选择D选项.7.若1+sin2x=2cos2x2，x0,，则tan2x的值构成的集合为（ ）A. 3B. 3,3C. 3,0,3D. 33,0,33【答案】C【解析】由1+sin2x=2cos2x2知，sin2x=2cos2x21=cosx，即cosx(2sinx1)=0，当cosx=0时，x=k+2,kZ，所以2x=2k+,kZ，从而tan2x=0，当sinx=12时，tanx=33，所以tan2x=2tanx1tan2x=3或-3，因此选C. 8.中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为an,其首项为a1,即此人第一天走的路程为a1,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则an是以a1为首项, 12为公比的等比数列,又S6=378=a11126112,解得a1=192,则a4a6=192123192125=192325=18,故选B.9.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90， BC1AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC内部【答案】A【解析】ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上故选项为：C10.设x，y满足约束条件3xy20xy0x0y0，若目标函数z=x+m2y（m0）的最大值为2，则y=sinmx+3的图象向右平移6后的表达式为（ ）A. y=sin2x+6B. y=sinx+6C. y=sin2xD. y=sin2x+23【答案】C【解析】试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中A(0,0),B(23,0),C(1,1)，因此目标函数z=x+m2y（m0）过C(1,1)时取最大值，即1+m2=2m=2，从而y=sin(mx+3)=sin(2x+3)，向右平移6后的表达式为y=sin(2(x6)+3)=sin(2x)，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换【名师点睛】1.对yAsin(x)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为xa(a0)，变换后的函数解析式为yAsin(xa)；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为yAsin(x)2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的11.直线l1:3x+y6与圆心为M0,1，半径为5圆相交于A，B两点，另一直线l2:2kx+2y3k3=0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（ ）A. 52B. 102C. 52+1D. 521【答案】A【解析】【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可【详解】解：以M0,1为圆心，半径为5的圆的方程为x2+(y1)2=5，联立3x+y6=0x2+(y1)2=5，解得A2,0，B1,3，AB中点为32,32.而直线l2：2kx+2y3k3=0恒过定点32,32，要使四边形面积最大,只需直线l2过圆心即可,即CD为直径,此时AB垂直CD,AB=(21)2+(03)2=10,四边形ACBD的面积最大值为S=12ABCD=121025=52故选：A【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12.函数fx是定义在R上的单调函数，若函数gx=fx2+fa-2x恰有4个零点，则a的取值范围是（ ）A. -,1B. 1,+C. 0,1D. 0,1【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性、单调性得x22x+a=0有4个根，可转为x22x+a=0有2个不等正根，利用二次函数图像的性质即可得a的范围.【详解】解：函数gx=fx2+fa2x恰有4个零点，令fx2+fa2x=0，由函数fx为奇函数可得fx2=fa2x=f2xa，由函数是定义在R上的单调函数得x2=2xa，则x22x+a=0有4个根，只需x22x+a=0有2个不等正根，即a0224a0，解得：0a1，即a取值范围是0a1，故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查二次函数图像性质的应用，属中档题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数fx=xlnx，则曲线y=fx在点x=e处切线的倾斜角的余弦值为_【答案】55【解析】 因为fx=xlnx，所以fx=lnx+1，所以fe=2，即k=tan=2，且0,)，则cos=55， 所以曲线y=fx在点x=e处的切线的倾斜角的余弦值为55.14.设f(x)=ln(x+x2+1)，若f(a)=3，则f(a)=_【答案】3【解析】f(x)=ln(x+x2+1)为奇函数，f(a)=3f-a=-fa=-3故答案为：-315.若椭圆x24+y2m=1上一点到两个焦点的距离之和为m3，则此椭圆的离心率为_【答案】53【解析】当m4时，由椭圆定义知m3=2m，解得m=9，所以e=ca=943=53，故填53. 点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中a2,b2的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.16.已知函数f(x)=sin(x+4)(0)在(12,3)上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是_【答案】(34,3)【解析】函数f(x)=sin(x+4)(0)在(12,3)上有最大值，但没有最小值，所以12+42s12【解析】【分析】（）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值（）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的阅读达人里任取2人，至少有1人来自甲组的概率（）由茎叶图直接得s02s12【详解】（）甲组10名学生阅读量的平均值为1+2+6+8+10+11+12+12+17+2110=10，乙组10名学生阅读量的平均值为1+2+4+4+12+13+16+16+(10+a)+2010=98+a10.由题意，得1098+a10，即as12.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB=2GF，BF=CF.()求证：ABCG；()若BC=CF=4，求三棱锥GABC的体积.【答案】()证明见解析；()8.【解析】【分析】() 取BC的中点为D，根据等腰三角形性质得 DFBC ，再根据平行四边形性质得CG/DF，即得CGBC ，最后根据面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理得结果，()先根据()得AD平面ABC，再根据三棱锥体积公式得结果.【详解】（I）取BC的中点为D，连结DF.由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC/平面EFG，从而BC/FG. CB=2GF， CD/GF，四边形CDFG为平行四边形， CG/DF. BF=CF，D为BC的中点， DFBC， CGBC.平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF， CG平面ABC，而AB平面ABC， CGAB. ()连结AD.由ABC是正三角形，且D为中点得， ADBC.由()知，AD平面ABC，GF/CDVG-ABC=VA-BCF=13344223=8.【点睛】本题考查三棱锥体积、面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.如图，已知椭圆M: x2a2+y2b2=1的离心率为32，且过点P2,1（I）求椭圆M的标准方程；（II）设点Ax1,y1，Bx2,y2是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2且k1k2=-14求x12+x22的值；设点B关于x轴的对称点为C，试求直线AC的斜率【答案】（I）x28+y22=1；（II）8；k=12或k=12【解析】【分析】() 根据条件列方程组解得b2，a2 ，即得结果，() 先根据直线OA方程与椭圆方程解得x12，同理可得x22，再根据k1k2=-14化简求值，先用A,B坐标表示直线AC的斜率，再根据k1k2=-14得x1x2=-4y1y2，利用结论以及椭圆方程解得y12+y22，最后代入得结果.【详解】（1）由题意ca=32，所以c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34，即a2=4b2，所以椭圆M的方程为x2+4y2=4b2，又因为椭圆M过点P2,1，所以4+4=4b2，即b2=2，a2=8所以所求椭圆M的标准方程为x28+y22=1（2）设直线OA的方程为y=k1x，x28+y22=1,y=k1x,化简得1+4k12x2=8，解得x12=81+4k12，因为k1k2=-14，故k2=-14k1，同理可得x22=81+4k22=81+4116k12 =816k1216k12+4=32k121+4k12，所以x12+x22=32k121+4k12+81+4k12 =8(1+4k12)1+4k12=8由题意，点B关于x轴的对称点为C的坐标为x2,-y2，又点Ax1,y1，Bx2,y2是椭圆M上异于顶点的任意两点，所以4y12=8-x12，4y22=8-x22故4(y12+y22)= 16-(x12+x22)=16-8=8，即y12+y22=2设直线AC的斜率为k，则k=y1+y2x1-x2，因为k1k2=-14，即y1y2x1x2=-14，故x1x2=-4y1y2，所以k2=y12+y22+2y1y2x12+x22-2x1x2= 2+2y1y28-2x1x2=2+2y1y28+8y1y2=14，所以直线AC的斜率为k为常数，即k=12或k=-12【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21.已知函数fx=alnx+x2，其中aR.（）讨论fx的单调性；（）当a=1时，证明:fxx2+x1；（）求证:对任意正整数n，都有1+121+1221+12ne (其中e2.7183为自然对数的底数).【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）先求fx，再对a0,a0，所以fx在0,+上单调递增 当a0时，令fx=0，解得x= -a2当0x-a2时，a+2x20，所以f(x)-a2时，a+2x20，所以f(x)0，所以f(x)在(-a2,+)上单调递增 综上，当a0时，函数fx在0,+上单调递增；当a0，当x(1,+)时，g(x)0.所以x=1为极大值点，也为最大值点 所以g(x)g(1)=0.即lnx-x+10.故fxx2+x-1. （）由（）知，lnxx-1.令x=1+12n， 则 ln(1+12n)12n ， 所以ln(1+12)+ln(1+122)+ln(1+12n)12+122+12n=121-12n1-12=1-12n1=lne,即ln(1+12)(1+122)(1+12n)lne所以1+121+1221+12n0).（I）直线与圆O相切，求a的值；（II）若直线与曲线C相交于A、B两点，求AB的值.【答案】（I）255；（II）215.【解析】【分析】() 先将直线参数方程化为普通方程，将圆O极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到切线距离等于半径解得结果，() 先将抛物线参数方程化