初三几何4角平分线辅助线.拔高(2014-2015)教师

2015年中考解决方案角平分线辅助线拔高学生姓名：上课时间：2014.角平分线辅助线拔高自检自查必考点知识点一 角平分线性质（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上（3）天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二 角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题 秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形 秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。 总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三 角平分线模型模型一 两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为 推理方法：如图，可得，化简可得类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为推理方法：如图，可得，化简可得类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为推理方法：如图，化简可得模型二 对角互补模型条件：，AOB+DCE =180结论：难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）中考满分必做题【练1】 在中，平分，为垂足，为的中点，求证： 【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形【练1】如图所示，在中，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证 【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可如图所示，延长、相交于点，在和中，故，从而，而，故是的中位线，从而【练2】 如图，在中，、分别是、的平分线，求证：【答案】如图，作，交于，交于为等腰三角形，且平分为中点，且平分，且为等腰三角形，且为的中点又，且为中点，即可以发现四边形为矩形，于是【练3】 在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证： 【答案】延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为 之中点，故易得【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，求证 【答案】如图所示，延长到，使，连接、因为，故，则因为，故因为，故因为，故因为平分，故在和中，故，从而，因此【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想【练2】如图，在中，是角平分线，垂足为求证：【答案】如图，延长交于于因为，所以于是因为，所以【练3】如图，已知，求证：【答案】解法一：如图，取的中点，连接、，公共，解法二：如图，延长到，使，公共，是等腰三角形底边上的中线，解法四：如图，取、的中点、，连接、，故，而，公共，是直角三角形【练4】 如图，在中，的平分线交于，过作，垂足为，求证：【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长、交于，过作，交于，则，解法二（角分线加中位线）：如图，延长、交于，过作交于，故有，解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线，故，有，故是的重心为的中线，故解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长、交于，而，平分，故，【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于求证：【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形延长交的延长线于点，易证得，所以为的中点，又，所以为的中位线，故这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件【练2】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且 【答案】如图所示，延长到，使，连接在和中，故，从而、三点共线，且是的中点，是的中位线，故，且【练3】如图所示，在中，平分，于，求证 【答案】如图所示，延长、相交于取的中点，连接，则，故，则容易证明，故因此【练5】 已知在中，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：【答案】解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接又，公共，又，故，而，为平行四边形，故又，而，故，而，解法二：如图，作，交于，又，而，故，又，即解法三：如图，过作，垂足为过作，垂足为又，又，而，故解法四：如图，延长到，使，连接，过作交于，显然，又，公共，显然为平行四边形，由另证1可知，故【练1】如图所示，在中，于，的角平分线交与，交于，平行于交于，则_【解析】角平分线、直角过作垂直交于点，易证；由角度分析易知，即；则有；又可证，则，则【答案】4【练2】如图，在中，平分交于，于交于，交于，连接求证：【答案】先证，再证【练2】如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：是直角三角形【答案】过做垂直于；由角的关系易得，即；易证；，；综合得到，得证【练3】在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证：【答案】解法一(四点共圆+垂径定理)：如图，4点共圆，又，故解法二（证菱形）：如图，连接是的平分线，四边形是菱形解法三（三线合一）：如图，公共，是的中垂线，故解法四（截长补短）：如图，延长交于，连接，显然，又，4点共圆，为等腰梯形，为等腰三角形，而，【拓展】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：【答案】解法一：如图，过作，交于，垂足为，连接，是的中垂线又，是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），解法二：如图，过作，而，故，中考真题拔高注：中考题和模拟题的几何压轴题经常把角平分线的基本性质和对称性，和垂直平分线基本性质结合起来考。可以根据全等得到角等推出对角互补，从而推导出四个角相等，经常和相似结合起来出相似比，也会和圆结合起来考。【练6】 已知，是的平分线将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.（09年昌平一模） 【答案】（1）与的数量关系是相等过点作，垂足分别为点，易得，而，是的平分线，又， （2），又，（3）如图1所示，若与射线相交，则； 如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则 【练7】 （1）如图1，为的角平分线，于，于，请补全图形，并求与的面积的比值；（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，与相交于点，判断与的数量关系，并证明；（3）在四边形中，已知，且，对角线平分，请直接写出和的数量关系.（10年昌平二模）【答案】（1）解：如图1所示. 为的角平分线，于，于， , , ，.（2）答：与的数量关系为 相等 证明：如图2，过点作于, 于,和都是等边三角形，, , ,点在的角平分线上（3）答：【练8】 已知， 点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON=180.（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；（3）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.图2图1图3 (2011昌平一模) 【答案】（1）在上截取，连接， 又 ， （2）且 ， （3）作交于， 且平分 在中 ，在中， 【练9】 已知：如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上， . （1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线 于点，求证：； （2）若（1）中的点运动到线段的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想 的数量关系并证明你的结论. （1）证明： 备用图1 备用图2 （2） (2014年1月西城八年级期末试题附加题)【练10】 已知和关于直线对称(点的对称点是点)，点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直平分线上，联结、，交于点 （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），当时，是线段上一点，联结、，的延长线交于点，试探究线段和之间的数量关系，并证明你的结论图（1） 图（2） (2014年1月丰台九年级期末试题)【答案】 (1)证明：如图1 连接点在线段的垂直平分线上, 和关于直线对称 图1(2)解：证明：如图2，由(1)可知 AB=AD ADB=ABD=EAF 图2，设，则过点F作FQED交AE于Q， GQ=EG=QE=， MQ=MG+GQ=3k+=FQED，.FM=FN【练11】 在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。 （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。 (2012年北京中考试题)【答案】（1）补全图形，见图1； ； （2）猜想：. 证明：如图2，连结. 是的中点， . 点在直线上， . 又为公共边， . 又， . 在四边形中