高三数学2线面角的计算

高三数学 2线面角的计算试题2 线面角的计算【例1】（2015高考浙江文18） 如图，在三棱锥中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.【解析】 (1)设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.因为平面，所以平面. (2)作，垂足为，连结.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以 【评注】根据斜线和平面所成的角的定义，确定斜线在平面上的射影，构建直角三角形求解，注意面面垂直性质定理的应用。 【变式1】利用特殊四棱锥的特征确定斜线在面上的射影找角 ABCDA1B1C1D1E 已知直四棱柱ABCD中，侧棱长为，底面ABCD为菱形且AB=2，则与侧面所成的角为 （ ）A B C D 【解析】确定点在面上射影的特殊位置，直四棱柱，底面ABCD为菱形，连接DB，取E为AD的中点，连接BE垂直AD，由面面垂直的性质定理，BE和面垂直，连接，则为所求的线面角，易求，则；A1B1D1C1DCBAE5. 在棱长为2的正方体中，是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 在正方体中，求直线和平面所成的角.A1B1D1C1DCBA【变式2】利用特殊三棱锥的特征确定斜线在面上的射影找角 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为 2. 【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， 【变式3】旋转体中确定母线在底面上的射影找角 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的正切值为 3. 【解析】设圆锥高，底面半径为，则，因为所以，化简得：解得：即.【变式4】利用正三棱柱的特征中确定斜线在侧面上的射影找角如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.A【解析】如图，取C1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E平面CAA1C1，过D作DHB1E，则DH平面CAA1C1，连接AH，则DAH为所求的DH=B1E=，DA=，所以sinDAH=【变式5】 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 5.【解析】 ，设所成角为，则 .【变式6】四棱锥中利用等积变换求高进而求线面角 （2015届河北省衡水中学高三上学期期中） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，则与平面所成角的正弦值 6. 【解析】设PD=AD=1，A到平面PBC的距离为h,则由题意PA=PB=PC=,，在等腰中，可求解得，D【例2】是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.【解析】构造如图所示的正方体，过点作平面，垂足为，则为正的中心，于是为与平面所成的角. 设，则，故，即选C.【评注】 补形法求线面角；抓住正方体中的面对角线构成的正三棱锥为正四面体.，可构造正方体这个常见的几何体模型，它使抽象问题具体化和模型化.【变式1】正方体中运动变换找线面角探究线面角的取值范围 (2014年四川高考理科) 如图，在正方体中，点为线段的中