江苏句容第三中学高三数学上学期三角函数与解三角形16正弦定理与余弦定理综合应用教学案无答案

正弦定理与余弦定理的综合应用【教学目标】在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法 【教学重点】利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题【教学难点】掌握利用数学建模解决实际问题的一般步骤【教学过程】一、知识梳理：1 测量问题的有关名词：（1）仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角其中目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角（2）方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30，南偏西45（3）方位角：是指北方向顺时针转到目标方向线的角（4）坡角：是指坡面与水平面所成的角2 求解三角形实际问题的基本步骤：（1）分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；（2）建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解二、基础自测：1如下左图，ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C _2如上右图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_m 三、典型例题：例1在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为（1）求角A和角B的大小； （2）求ABC的面积 例2隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得 反思：ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离【变式拓展】如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？ 例3如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元设CDA，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元（1）写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；（2）问：中转点D距离A处多远时，S最小？四、课堂反馈：1如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海 上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5 n mile的C处，则两艘船之间的距离为_n mile.2在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？ 五、课后作业： 学生姓名：_1如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB20 m，求山高CD.2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，求塔AB的高度3如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上 （1）求渔船甲的速度； （2）求sin 的值 4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)5如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观