高三数学圆与线性规划理人教实验A知识精讲

高三数学圆与线性规划（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：圆与线性规划二. 重点、难点：1. 线性规划（1）二元一次不等式 表示平面区域 直线的一侧（2）目标函数的最优解通常在边界取得（3）应用题中应注意字母的取值范围 2. 圆的方程（1）（2）（3） 为参数 3. 直线与圆 圆（1）相离（2）相切 （3）相交（4）弦长【典型例题】例1 已知实数满足下面条件，求的最值、的最值、的最值、的最值、的最值。解：可行域为五边形，A（0，1），B（1，3），D（2，0） （B处） （O处） （O处）（线段BC） （C处）（A处） （B处）（D处） （O处）（C处）例2 某人上午7点，乘摩托艇以匀速V海里/时，从A港出发到距50海里的B港，然后乘汽车以匀速W千米/时，自B港向距300千米的C市，应在同一天下午4点至9点到C市，设汽车、摩托艇所用时间分别为小时，若所需经费为（元），W、V为何值时最经济。解：设汽车、摩托艇所用时间为小时 图略 时， 此时，W=30例3 甲、乙两地生产某种产品，可调出的数量为300t、750t，A、B、C三地需该产品的数量为200t、450t、400t，甲运至A、B、C三地的费用为2元/t、7元/t、5元/t，乙运至A、B、C三地的费用为5元/t、9元/t、6元/t。问如何调运，可使总费用最小。解：设甲运至A地xt，B地yt，C地 乙运至A地，B地，C地费用满足 A（200，0），B（200，100），C（0，300） 在B处取得最小值，元例4 求满足条件的圆（1）以A（4，9），B（6，3）为直径的圆。（2）过A（5，2），B（3，）圆心在直线上的圆。（3），由围成ABC的外接圆、内切圆。（4）过A（4，2），B（1，3）在x轴上截线段长度为4的圆。（5）圆心在直线上，与相切，截，弦长为6的圆。（6）以为圆心，与圆相切的圆。（7）圆，圆，过交点且圆心在直线上的圆。解：（1）圆心为AB中点（5，6） （2）AB垂直平分线：圆心M（2，1） （3）分析，ABC为直角，于B（6，3） 外心为AB中点M（2，1） 的角分线，满足 同理角分线 于N（2，3）为内心 （4）设圆，将A（4，2），B（1，3）代入 圆令，由已知， F=0或F=320 或（5）圆心在上，设圆心 （6）在圆内 相内切 或（7）设圆M方程： 圆心在直线上 圆例5 P为圆内一点，过P（3，0）点作M最长弦交M于A、C，过P作M最短弦交M于B、D，求。解： 例6 方程M：，（1）若M表示圆，求的取值范围；（2）为何值，圆M面积最小，并求最小值。解： 例7 预算用2000元购买单价为50元的桌子，20元的椅子，希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少符合要求。解：设买桌椅个目标函数，在B处有最值，但B非整点 时，例8 圆M：，若圆M上恰有两点到的距离为1，求的取值范围。解： 例9 圆，过定点，求此点。解： 过定点A（3，4），B（5，0）例10 圆M：，A（），过A作M的切线，切点为P、Q，求证直线PQ过定点。解：圆心M（1，4）， MPAP MQAQ A、P、M、Q四点共圆 AM为直径 圆APMQ为圆M：相减： 例11 已知点P（x，y）的坐标满足条件，点O为坐标原点，那么的最小值等于 ，最大值等于 。答案：；解析：由作出可行域（如图）为ABC，当P在C处时，最小为，当P在B处时，最大为。例12 已知直线与圆O：相交于A，B两点，且，则= 。答案：解析：解法一：，在此中，AC=，OA=1，则解法二： ， 例13 已知圆满足： 截y轴所得弦长为2， 被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆方程。解析：解法一：设圆心为P（），半径为，则P点到x轴、y轴的距离分别是和。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆P截x轴所得弦长为，所以，又圆P截y轴所得弦长为2，所以从而又因为P（）到直线的距离为所以，当且仅当时取等号，此时这时有或由得故所求圆的方程为或解法二：同解法一得所以，得 将代入得 关于b的二次方程有实根，则所以，将代入解得由得由，解得由知同号故所求圆的方程为或【模拟试题】1. 已知集合，集合，那么MN中（ ） A. 不可能有两个元素B. 至多有一个元素C. 不可能只有一个元素D. 必含无数个元素2. 在直角坐标系中，点A在圆上，点B在直线上，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 3. 以点P（2，3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（ ）A. 城B. C. D. 4. 设圆C：，直线：，点P（2，1），那么（ ）A. 点P在直线上，但不在圆C上B. 点P在圆C上，但不在直线上C. 点P在圆C上，又在直线上D. 点P不在圆C上，又不在直线上5. 圆的周长是（ ） A. B. 2 C. D. 46. 设椭圆（）的离心率为，右焦点为F（），方程的两个实根分别为和，则点P（）（ ）A. 必在圆内B. 必在圆上C. 必在圆外D. 以上三种情形都有可能7. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A. 60条 B. 66条 C. 72条 D. 78条8. 半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程是（ ）A. B. C. D. 9. 两个圆C1：与圆C2：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条10. 已知圆C：及直线，当直线被C截得的弦长为时，则等于（ ）A. B. C. D. 11. 从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 612. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 13. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水，假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 614. 若表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 15. 若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（ ） A. 8或2 B. 6或4 C. 4或6 D. 2或816. 将直线=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. 3或7 B. 2或8 C. 0或10 D. 1或1117. 原点和点（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 18. 设，且，则点（）在平面上的区域的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 19. 若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或20. 下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（ ）A.（1，1） B.（1，1） C.（1，1） D.（1，1） 21. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线上，那么的最小值为（ ）A. B. C. D. 22. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ） A. 36万元 B. 31.2万元 C. 30.4万元 D. 24万元23. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ） A. 4 B. 11 C. 12 D. 1424. 已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 25. 在平面直角坐标系中，已知平面区域，且，则平面区域的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 26. 实数x，y满足不等式组，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 27. 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 2 28. 已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数取得最小值，则m=（ ） A. 2 B. 1