高三数学导数的定义、导数与切线、导数与单调区间人教 知识精讲

高三数学高三数学导数的定义、导数与切线、导数与单调区间导数的定义、导数与切线、导数与单调区间人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数的定义、导数与切线、导数与单调区间 二. 重点、难点： 1. 定义 x xfxxf x y xf xx )()( limlim)( 00 00 0 2. 常见函数的导数 （1）cy 0 y （2） n xy 1 n nxy （3）xy a loge x y a log 1 （4） x ay aay x ln （5）xysinxycos （6）xycosxysin （7）xytan x y 2 cos 1 （8）xycot x y 2 sin 1 3. 运算 （1）)()( )()(xgxfxgxf （2）)()()()( )()(xgxfxgxfxgxf （3）)( )(xfcxfc （4）（）)(/ )( )( 1 2 xfxf xf 0)(xf （5）（） )( )()()()( )( )( 2 xg xgxfxgxf xg xf 0)(xg 4. 复合函数的系数 )(ufy )(xgu )()(xgfxFy 其中)()()(xgufxF)(xgu 5. 切线 P（，）在上，以 P 为切点，为切线 0 x 0 y)(xfy )(xf ：l)( 000 xxxfyy 6. 单调区间 （1）在区间（，）内可导)(xfy ab 且（，）总有xab)(x f 0 （，）为的增区间ab)(xfy （2）在区间（，）内可导)(xfy ab 且 总有),(bax0)( x f （，）为的减区间ab)(xfy 【典型例题典型例题】 例 1 用定义求函数的导函数xy 解：解：xxxy )( limlim 00 xxxx x x xxx y xx x2 1 例 2 在处可导，且，求)(xfy 0 xx 1 )()2( lim 00 0 x xfxxf x )( 0 x f 解：解： x xfxxf x xfxxf xx 2 )()2( 2lim )()2( lim 00 02 00 0 1)(2 0 x f 2 1 )( 0 x f 例 3 求证，在处连续且不可导|)(xxfy0 0 x 证明：证明： )0( )0( )( xx xx xf 0)()(lim)(lim 00 xfxfxf xx 1 0 lim )( lim 00 x x x xf xx 1lim )( lim 00 x x x xf xx 不存在 不可导 x xf x )( lim 0 例 4 求下列函数的导数 （1） x xx xfy 23 )( 2 （2） 2 1 )( x x xfy （3） x x xfy cos1 sin1 )( （4）xxxfy 3 sin3sin)( （5） 43 ) 13()52()(xxxfy （6） 11 4 )( xx xfy （7） x xy sin （8） x xy 解：解： （1） 2 1 2 1 2 3 23 xxxy 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 xxxy （2） 22 2 22 2 )1 ( 1 )1 ( )2()1 ( x x x xxx y （3） 2 )cos1 ( 1cossin x xx y （4）xxxxycossin33cos 223 （5） 3342 )52() 13(12) 13()52(6xxxxy )97()52() 13(6 23 xxx （6） )11(2xxy) 12 1 12 1 (2 xx y 1 1 1 1 xx （7） xxx eey x lnsinln sin )sin 1 ln(cos)ln(sin lnsinlnsin x x xxexxey xxxx （8） xxylnln1ln 1 xy y ) 1(lnxxy x 例 5 求曲线在点 P（2，4）处的切线方程。 2 xy 解：解：P（2，4）在上 2 xy xy24k ： 切 l)2(44xy044 yx 例 6 曲线在点 A 处的切线的斜率为 15，求切线方程。2632 2 xxy 解：解：设切点为 A（，） 0 x 0 y34 xy1534 0 x 3 0 x1 0 y ： 切 l)3(151xy04415 yx 例 7 过点 P（2，0）且与曲线相切的直线方程。 x y 1 解：解： 2 1 x y P（2，0）不在上，设切点 A（，） x y 1 0 x 0 y ： 切 l)( 1 0 2 0 0 xx x yy 1 1 )2( 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 y x x x y x y ： 切 l) 1(1xy02 yx 例 8 与交点处的两条切线的夹角 2 xy 1 xy 解：解： ， 1 1 1 1 2 y x x y x y 3 1 2 x y 2 1 x y 2 1 k1 2 k 3 1 | 21 12 |tan 3 1 arctan 例 9 求过 P（2，）与曲线相切的切线方程2 3 3xxy 解：解：设切点 A（，） ab 2 33xy ： 切 l)(33( 2 axaby )2)(33(2 3 2 3 aab aab 043 23 aa0)2)(1( 2 aa ：1a2 b 切 l2y ：2a2 b 切 l0169 yx 例 10 求曲线 C1：，曲线 C2：的公切线 2 xy 2 )2( xy 解：解：公切线 与 C1、C2切点为 A（，）B（，）la 2 ab 2 )2( b ： 1 l)(2 2 axaay ： 2 l)(2(2)2( 2 bxbby 、为同一条直线 1 l 2 l ： 1 l 2 2aaxy ： 2 l4)2(2 2 bxby 即：或 0 2 4 )2(22 22 b a ba ba 2 0 b a 两公切线：，44 xy0y 例 11 求下列函数的单增区间 （1）52 2 1 23 xxxy （2） x x y 1 2 （3）（）x x k y 2 0k （4）xxyln2 2 解：解： （1） 023 2 xxy),1 () 3 2 ,(x （，），（1，） 3 2 （2） 0 1 2 2 x x y),0()0,(x )0,(),0( （3） 01 2 2 x k y),(),(kkx （，），（，）8kk （4）0 141 4 2 x x x xy * 定义域（0，） ), 2 1 (x 例 12 证明不等式 （1） ),0(x )1 (2 )1ln( 2 22 x x xx x x （2） x x 2 sin) 2 ,0( x （3） xxxxtansin) 2 ,0( x 解：解： （1）令) 2 ()1ln()( 2 x xxxf x x x x xf 1 )1 ( 1 1 )( 2 ),0(x0)(xf0)0(f 任取 恒成立 即),0(x0)0()( fxf) 2 ()1ln( 2 x xx 令)1ln( )1 (2 )( 2 x x x xxg xx xxx xg 1 1 )1 (4 244 1)( 2 22 2 2 )1 (4 2 x x ),0(x0)(xg0)0(g 任取 恒成立 ),0(x0)0()( gxg )1ln( )1 (2 2 x x x x （2）原式 2sin x x 令 x x xf sin )( 2 )tan(cos )( x xxx xf ) 2 ,0( x0)( x f) 2 ()( fxf 即 2sin x x x x 2 sin （3）令xxxxfsin2tan)( xxxfcos2sec)( 2 x xx 2 32 cos coscos21 2 2 cos )sin)(coscos1 ( x xxx ) 2 ,0( x0)(xf) 2 ,0( x 0)(xf) 2 ,0( x0)0()( fxf xxxxsintan 例 13 函数为增函数，求的取值范围。) 1(2)( 23 mxmxxxfym 解：解： 223)( 2 mxxxf 0244 2 m66m 例 14 求证方程在区间（2，3）有且仅有一个实根。1lgxx 解：解：设1lg)(xxxfy （2，3）时，exexylglglgx0y 04 . 0lg12lg2)2(f07 . 2lg13lg3)3(f 在（2，3）内有且仅有一个实根01lgxx 【模拟试题模拟试题】 1. 已知，求函数的单调区间。Ra ax exxf 2 )( 2. 已知函数为 R 上减函数，求的取值范围。13)( 23 xxaxxfa 3. 函数在区间（1，4）内为减区间，在区间（6，1) 1( 2 1 3 1 )( 23 xaaxxxf ）为增区间，求的范围。a 4. 函数xbxaxxf3)( 23 已知过 A（0，16）作曲线的切线，求切线方程。)(xfy 5. ，时，求)(xfy 1x3)(xf2)( x f 1 9)( lim 2 1 x xf x 6. 关于的多项式函数，对有x)(xfy Rx 3 2)()()()(xxfxfxfxf ，求的增区间。12 x)(xfy 【试题答案试题答案】 1. ax eaxxxf)2()( 2 （1）若0a 0)(),0(xfx 0)()0,(xfx （2）若0a 02 2 axx 或 a x 2 0x 0)() 2 ,(xf a x0)(),0(xfx 0)()0, 2 (xf a x （3）若0a 02 2 axx a x 2 0 0)() 2 ,0(0)()0,(xf a xxfx 0)(), 2 (xf a x 2. 163)( 2 xaxxf 恒成立Rx0)( x f 01236 0 0 0 a aa 3a 3. 1)( 2 aaxxxf0)1()1(axx 1 1 x1 2 ax （1）若11a2 a 在（，1），（，）（1，）)(xf1a1a 75 61 41 a a a （2）若11a2 a 在（，），（1，）（，1） 无解)(xf1a1a 4. A 不在上xxy3 3 )(xfy 设切点为 P（，） ab33 2 xy 切： l)(33( 2 axaby aab aab 3 )0)(1(316 3 2 aaaa33316 33 8 3 a2a2b 切：l0169 yx 5. 1 ) 1 ()( lim 1 9)( lim 22 1 2 1 x fxf x xf xx )1 ()( 1 ) 1 ()( lim 1 fxf x fxf x )1 ()(lim 1 ) 1 ()( lim 11 fxf x fx