高三数学平面向量与解析几何相结合教师专用题人教

高三数学专题 平面向量与解析几何相结合教师专用题教学立意:本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。基础知识梳理: 1 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法； 2 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；5 曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。例题讲解“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在推导和探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系方面,向量是较好的工具.例题1.已知是x,y轴正方向的单位向量，设, ,且满足|+|=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解：(1) =, |=,且|+|=4.点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为.(3) 设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =.因此，. 当时，即m=时，.例题2.已知A、B为抛物线(p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，(1)若，求抛物线的方程。（1） (2)CD是否恒存在一点K，使得解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，则0故存在点K即点T，使得实质：以AB为直径的圆与准线相切例题3.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). ()求椭圆的方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.解：（）设所求椭圆方程是由已知，得cm，所以a2m，故所求的椭圆方程是（）设Q（，），直线l：yk（xm），则点M（0，km）当时，由于F（m，0），M（0，km），由定比分点坐标公式，得，又点在椭圆上，所以解得当时，于是，解得k0故直线l的斜率是0，例题4.（2004湖南文）如图，过抛物线的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 数学应用一、选择题1.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( )(A)椭圆 (B)双曲线 (C)线段 (D)射线2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=（ ）（A） (B) (C) (D) 3.已知是平面上一定点，、是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心4.已知两点A(-1，0)，B(1，0)，动点P在y轴上的射影是Q，且则动点P的轨迹为（）：(A)抛物线 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)直线 二.解答题5.(2004辽宁19)设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解.2分将代入并化简得，所以于是6分设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为8分解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为8分（2）解：由点P的轨迹方程知所以10分故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为12分6.(2004年全国卷)设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率（II）设由于x1+x2都是方程的根，且1a20，,.7.(2005年全国卷)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在椭圆上，即由（1）知又，代入得故为定值，定值为1.8.(2005年湖南卷)已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e。直线l：yexa与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设。（）证明：1e2（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形。解:（）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点M的坐标是（）. 由即 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （）解法一：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是. 即当时，PF1F2为等腰三角形.9.(2005年广东) 在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B，满足AOBO（如图所示）；（I）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（II）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。解：（I）设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 （1）OAOB ,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；10.(2005年天津)抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足。（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围（）解：由抛物C的方程，准线方程为（）证明：设直线PA的方程，直线PB的方程