高三数学导数运算人教知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学导数运算高三数学导数运算人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 导数运算 1. 幂函数的导数公式 n xy （） 1 )( nn nxx * Nn 证明： nn n n n n n nn xCxxCxxCxxxy)()()( 22211 12211 )( nn n n n n n xCxxCxC x y 1 0 lim)( n x n nx x y x 2. 常数函数的导数公式 0C 证明：由0)()(CCxfxxfy 则，故0 x y 0lim 0 x y y x 3. 导数的运算法则 如果，有导数，则有)(xf)(xg)(x f )(x g )()( )()(xgxfxgxf )( )(xfCxfC 即两个函数的和或差的导数，等于这两函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数， 等于常数乘以函数的导数。 【典型例题典型例题】 例 1 求下列函数的导数。 （1）1040233 34 xxxy （2）)3)(12( 23 xxxy 解：解： （1）40691240)3(23)4(3 2323 xxxxy （2）xxxxxxxy 24523 326)3)(12( y 168301)2(3)4(2)5(6 3434 xxxxxx 例 2 已知，设，证明：.0a * Nn n axy)( 1 )( n axny 证法一：证法一：由，则 nn xaax)()( nn n kknk n n n n n xCxaCxaCaCy )()()( 110 112211 )()(2)( nn n kknk n n n n n xnCxakCxaCaCy xanCanC n n n n 1)1(1 1 10 )()( （利用公式） 11 1 1)1()1(1 1 )( nn n kknk n xnCxanC 1 1 k n k n nCkC 11 )()( nn axnxan 证法二：证法二： x axxax y nn x )()( lim 0 用心 爱心 专心 x axxCxaxCxaxCax nnn n n n n n n x )()()()()()( lim 22211 0 )()()(lim 12211 0 nn n n n n n x xCxaxCaxC 1 )( n axn 注：注：证法 1 利用导数公式及运算法则，证法 2 则利用导数定义 例 3 已知函数且函数的图象关于原点对称，其图象在dcxbxaxxf 23 )()(xf 处的切线为，试求解析式。3x0188 yx)(xf 解：解：由关于原点对称则)(xf)()(xfxf 即dcxbxaxdxcxbxa 2323 )()()( 022 2 dbx 上式对任意都成立，则Rx0 db 又的图象在处的切线方程为即)(xf3x0188 yx)3(86xy 由，则cxaxxf 3 )(cbxaxxf23)( 2 故 即 得 8)3( 6)3( f f 827 6327 ca ca 1 3 1 c a 故所求解析式为xxxf 3 3 1 )( 例 4 已知抛物线与直线交于点 M、N、P 为抛物线上弧上任意一 2 xy43 yx MN 点，求使面积最大时的点 P 的坐标。PMN 解：解：设 P（，）是抛物线上弧上一点，由，则抛物线在 0 x 0 y 2 xy MNxy2 点 P 的切线斜率为。xk2 当过 P 的切线平行于 MN 时，P 到 MN 的距离为最大，而直线 MN 的斜率为3k 故，32 0 x 2 3 0 x 于是点 P 的坐标为（，） 2 3 4 9 例 5 设，曲线在点 P（，）处切线的0acbxaxxf 2 )()(xfy 0 x)( 0 xf 倾斜角的取值范围是，则 P 到曲线对称轴距离的取值范围是（ ） 4 ,0 )(xfy A. B. C. D. 1 ,0 a 2 1 ,0 a 2 ,0 a b 2 1 ,0 a b 解：解：，由已知，即baxxf2)(1)(0 0 xf120 0 bax 则点 P（，）到曲线对称轴距离为 0 x)( 0 xf)(xfy ，选 B。 2 1 ,0| 2 2 | 2 | 0 0 aa bax a b x 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】 1. 若直线是曲线的切线，求常数的值。xy axxxy 23 3a 2. 若两曲线与都过 P（1，2）点，且在这点有公切线，求axxy 3 cbxxy 2 、的值。abc 3. 证明：在两抛物线，的交点处它们的切线互相垂直。 2 xy 2 ) 1( xy 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. 解：设切点坐标（，） 0 x 0 y 则或1 163 3 0 2 0 00 0 2 0 3 00 a axx xy axxxy 4 13 a 2. 解：由axyaxxy 23 3 由bxycbxxy2 2 1 2 1 1213 12 12 2 2 3 c b a ba