平面法向量在立体几何中的初步应用_第1页
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平面法向量在立体几何中的初步应用全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学第二册（下B）中仅给出了平面法向量的定义，法向量的应用在教材中没有做进一步拓展。笔者认为，法向量是值得我们挖掘的一个问题，在求点到平面的距离，直线与平面所成角以及二面角时，如果能以平面法向量为载体，往往可以收到化难为易的效果，而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算，简捷方便，能减轻学生空间想象之困难。本文就平面法向量在立体几何中的初步应用谈一点体会。一、以平面法向量为载体，求点到平面的距离图1例1（2003年全国高考文科试题）已知正四棱柱ABCD，AB1，2，点E 为中点，求点到平面BDE 的距离。解：建立空间直角坐标系Dxyz（图2），则D（0，0，0），B（1，1，0）， D（0，0，2），E（0，1，1）。设平面DBE 的法向量为（x，y，z）。图2（x，x，x）。不妨令x1，则（1，1，1）。二、以平面法向量为载体，求直线与平面所成的角例2（1995年理科高考试题）如图3，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E在底面圆周上，如果圆柱与三棱锥D ABE 的体积比等于3，求直线DE 与平面ABCD 所成的角。建立空间直角坐标系Axyz（图3），则E（r，r，0）， D（0，0，2r）， H（0，r，0）。图3 三、以平面法向量为载体，求二面角图4图5（2，），（，0，0）。令1，1，则（2，1，1），（1，0，0）。例4（2002年理科高考试题）如图6，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，且CM BN a（0a 2）。图6 （，）。令1，则（1，1，1）。同理-，）。令1，则（1，1，1）。 1111，3。四、以法向量为载体，判断两个平面互相垂直（转化为求两个平面法向量的数量积等于0）例5（1997年全国高考试题）如图7，在正方体ABCD 中，E、F 分别是、CD 的中点，证明面AED面。 （0，2），（0，2，），令1，1，则（0，1，2），（0，2，1）， 012（2）10 ，即面AED面。评述：以平面法向量为载体来解题，可以克服平面的垂线难作、角难找、图难画等难点。同时，把向量的思想方法融合到传统的数学思想方法中，实现教学方法和解题方法的创新，对强化学生的转
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